Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Функция и^і преобразуется по двумерному представлению DW*\ Каждому значению / можно поставить в соответствие одну из двух спиновых функций («спин вверх» или «спин вниз»). Таким образом, функция (8.17) описывает 2^-KPaTHo вырожденное состояние и преобразуется по представлению
Dm х D<v,> х х Dm e 2 csD{s\ (8.18)
где Cs<>0 — целое число. Как и раньше, линейную комбинацию USms произведений спиновых функций можно составить с помощью коэффициентов Клебша — Гордана. При этом волновая функция всей системы запишется в виде
*{LMLSMs) = *lM?USMs. (8.19)
Эта форма записи более предпочтительна, ибо она учитывает принцип Паули, о котором речь пойдет ниже. Вообще говоря, под влиянием спинового взаимодействия состояния (8.18) расщепляются на совокупность (2Z + 1) (25 4- 1) раз вырожденных состояний (8.19), именуемых термами. В обычных спектроскопических обозначениях термы записывают в виде 2S+,Z, например 3Z), причем полный орбитальный момент количества движения обозначается заглавными буквами (5, P9 D, F9 ...).
Если конфигурационное взаимодействие невелико, то часть гамильтониана, зависящую от спина, с хорошей точностью можно записать в виде
Hs-SKn)I1-S1. (8.20)
Детальный вид функций нас здесь не интересует (см. [2],
гл. 10). Теперь гамильтониан уже не инвариантен относительно независимых вращений пространственных и спиновых координат; поскольку, однако, величина 1{•Si преобразуется как обычный
70
СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
ГЧ. ГI
скаляр, имеет место инвариантность относительно одновременного вращения координат и спинов. Несмотря на то, что спины отдельных электронов явно друг с другом не взаимодействуют, следует все же классифицировать состояния системы по полному спину 5. Основания к этому — те же, что и при выборе формы (8.19) для волновой функции. Связь спина с орбитальным моментом вводится далее с помощью соотношения
Z)(L)XD(S) = 2fl(/), (8.21) j
где
J = L + 5, L+ 5-1, |L-5|. (8.22)
Здесь / — полный момент количества движения. Ему отвечает состояние с (2/+ 1)-кратной степенью вырождения. Такое состояние называют уровнем; возникновение его связано со спин-орбитальным расщеплением терма. Каждый уровень обозначают символом 2s+1Lj. Так, например, 3D-^3D3, 3D2, 3L)1.
Волновые функции данного уровня представляют собой линейные комбинации
if (L 5/My) = 2 (LSM1MsIJMj)^(LM1SMs). (8.23)
Конечно, более точное выражение для волновой функции могло бы содержать и другие термы с теми же значениями / и Mj. Поскольку все спиновые функции мы можем выбрать четными, четность собственных функций гамильтониана Но + Hs равна
( — 1) / / =s (— I)1*; только уровни одной и той же четности могут фигурировать в правой части (8.23).
Обратимся теперь к принципу исключения Паули и к проистекающим из него важным физическим следствиям. Его можно сформулировать с полной ясностью, пользуясь простым языком теории групп.
Система N электронов может существовать только в состояниях, волновые функции которых преобразуются по антисимметричному представлению группы перестановок N объектов (группа Pn). Такая формулировка принципа Паули, конечно, идентична общеизвестной, согласно которой в одном и том же орбитальном состоянии не может находиться более двух электронов. Напомним, что названное представление есть одномерное представление группы порядка Ni. Оно состоит из положительных и отрицательных единиц, отвечающих, соответственно, четным и нечетным перестановкам. Простейшая нормированная волновая функция, удовлетворяющая этим условиям, получается путем
ГЛ. 81
ТЕОРИЯ ГРУПП и связь МЕЖДУ состояниями
71
проектирования простого произведения пространственной и спиновой функций:
7? 1
Здесь ф — мультипликативная функция,
(8.21)
Nl
4г S <- •)"*«>
— оператор, обычно называемый оператором антисимметриза* ции; индекс R пробегает все возможные перестановки простран* ственных и спиновых координат электронов, число Pr указывает четность перестановки. Очевидно, aN есть не что иное, как проекционный оператор, выбирающий антисимметричное представление группы перестановок (см. гл. 7). Волновую функцию (8.24) можно записать в виде детерминанта, составленного из одно-электронных пространственных и спиновых функций:
*i(riK, Mri)\
Vm
(8.25)
Для определения одноэлектронных функций, которые дают наилучшую детерминантную аппроксимацию собственных функций H09 следует воспользоваться вариационным принципом. Тогда оказывается, что пространственные части названных функций должны удовлетворять уравнениям Хартри — Фока [1].
-S[J*; w ь <*»] *, W -ад м- <8-2б>
/II
В последнем члене левой части равенства (8.26) суммирование проводится только По тем электронам, спины которых параллельны спину 1-го электрона. Этот член называется обменным. Именно он ответствен за нарушение инвариантности задачи относительно вращений отдельных спинов. Последнее обстоятельство как раз и вынуждает нас работать всегда с полным спином S и с представлением .0(?
72
