Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нокс Р. -> "Симметрия в твердом теле" -> 21

Симметрия в твердом теле - Нокс Р.

Нокс Р., Голд А. Симметрия в твердом теле. Под редакцией Григоровой В.А. — М.: Наука, 1970. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): simvtvtel1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 144 >> Следующая


K =

обратная ей матрица есть

/с1 =

1 2 3

3 1 2

1 2 3

2 3 1

Мы имеем

P[I і 2)°(1Ws) = Ф (2 3 J)(Ws)]= «D(Wi)- (7-Ю)

Здесь Ф есть произвольная функция трех координат. Теперь легко найти базисные функции, пользуясь равенством (7.7) и неприводимыми представлениями группы D3. Мы получаем

(JW3) = J [Ф (Wa) + ф (Wi> + ф (Wb) + Ф (»•Ir8T8) +

+ «D(Wi)+ ^Wa)J;

вполне могут быть отличными от нуля. Действительно, как правило, они не малы и характеризуют «обменную» энергию системы. Трудности, связанные с нахождением и вычислением таких диагональных матричных элементов, снимаются, если пользоваться функциями (7.7) с определенной перестановочной симметрией.

Пример системы трех частиц как раз удобен для иллюстрации неприводимых представлений симметрической группы. Существует 3! = 6 возможных перестановок трех частиц:

2 3\ /12 3

62

СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

[Ч. II

J [Ф (/W3) + Ф (г2гъгх) + Ф (г3г,г2) - Ф (/W2) -

-®{r3r2ri)-<&{r2r{r3)]t J [Ф (г IV3)-уФ (W2)-уФ (r2r3r,) +

+ уФ (W2) + уФ (W1) - Ф (/у*!Г3)] ;

т [ - "Г"ф (ГзГіГ2)+"TT ф (Wl)"

- ИГ Ф (W2) + Ц- Ф (Wl)] . (7.11)

Как отмечалось в гл. 4, эти функции не нормированы, даже если функция Ф была нормирована. Нормировку, однако, легко выполнить. Тем не менее функции W взаимно ортогональны, что следует из общих теорем главы 4.

Функция 1Fj не меняет знака при перестановке индексов двух частиц. Три тождественные частицы, волновые функции которых «преобразуются по представлению Гі группы перестановок», разумеется, известны в физике: их называют бозонами. Функция W2 меняет знак при перестановке индексов любых двух частиц. Частицы с волновыми функциями такого типа тоже известны. Это — фермионы. Однако ничего не известно о существовании частиц, поведение которых описывалось бы вырожденными функциями Ч*зі и W32. Они действительно подчинялись бы довольно странной «статистике».

Как это ни удивительно, эту иллюстративную трактовку системы трех частиц легко обобщить на случай системы из N частиц (где N велико), хотя число неприводимых представлений и становится при этом огромным. Дело в том, что симметрическая группа Л7-го порядка всегда имеет два легко различимых неприводимых представления. Одно из них есть тривиальное представление Гі; естественно, оно выделяет полностью симметричную велновую функцию. Другое представление, Г2, одномерное. Оно таково, что T2(R) равно плюс или минус единице d зависимости от того, четное или нечетное число перестановок частиц содержится в /?. Мы уже видели это на примере системы трех частиц. Действительно, элементы

/1 2 3\ /12 3\

U 1 2) И U 3 lj

представляют собой произведения двух более простых элементов Tij\ это означает, что они отвечают перестановкам двух пар

^3I (JW3) =

4^2 (г 1Г2Г3) =

ГЛ. 7]

СИММЕТРИЯ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИИ

63

частиц*). Из определения Гг, которое мы только что дали, сразу видно, что это представление — неприводимое, и волновые функции, которые оно выделяет, отвечают свойствам фермионных систем. Волновая функция N фермионов имеет вид

Nl

^(-l)PRP(R)0(rlr2...rN)9 (7.12)

где Pn обозначает «четность» оператора /?, т. е. число различных транспозиций, входящих в него. Пусть, в частности, Ф представляет собой произведение ортонормированных одноэлектронных волновых функций Ф\(г\)ф2(г2) ... ^jV(Гл). Тогда функцию 4*2можно нормировать и записать в более привычной форме, в виде детерминанта Фока—Слэтера:

^2 =

^(-1)^Р(ЮФі(г{)ф2(г2)... Ыг*)- (7.13)

Ф\ (ri) Ф\ (г2)

Ф2 (Г\) Ф2(г2)

Ф\ M

тМ'ї) Фы(г2) ... ФЫ (ГЫ)

(7.14)

Пожалуй, существование базисной функции (7.14) убедительнее всего доказывает, что представление типа T2 действительно существует для систем с любым числом частиц N. Пользуясь свойствами детерминантов, можно проверить, что функция (7.14) действительно служит базисом представления Гг, определенного выше.

Ограниченный объем книги не позволяет нам продолжить рассмотрение свойств неприводимых представлений симметрических групп. Прекрасное изложение этого предмета можно найти в книгах [1—3].

•) Группа симметрии характеризуется следующим общим свойством: каждый элемент R можно представить в виде /? = JJ(F//) где k{j = 0 или 1.

Ki

(Отметим, что 7^ув?.)Все элементы/? с одинаковыми значениями 2^'/ ПРИ*

Ki

надлежат одному и тому же классу. Это сразу видно на примере группы Оз. Элементы Tц называются транспозициями.

64

СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

{Ч. Il

Литература

1. Е. Вигнер, Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, ИЛ, 1961.

2. Л. X а м е р м е ш, Теория групп и ее применения к физическим проблемам. Изд. «Мир», 1966, гл. 7.

3. J. S. Lomont, Applications of Finite Groups, New York, 1959, Chapt. VII.

ГЛАВА 8

ТЕОРИЯ ГРУПП И СВЯЗЬ МЕЖДУ СОСТОЯНИЯМИ

Часто бывает удобно представить сложный гамильтониан в виде суммы отдельных слагаемых,

Я = Я0 + Я1 + Я2+... (8.1)

Здесь первый член Я0 обладает высокой симметрией и отражает наиболее важный вклад в энергию, так что изучение только его одного уже позволяет получить существенную информацию о системе. Остальные слагаемые рассматриваются как последовательные возмущения, хотя эффект, ими производимый, может быть и не малым.
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed