Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нокс Р. -> "Симметрия в твердом теле" -> 27

Симметрия в твердом теле - Нокс Р.

Нокс Р., Голд А. Симметрия в твердом теле. Под редакцией Григоровой В.А. — М.: Наука, 1970. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): simvtvtel1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 144 >> Следующая


Группа Dnd (d — диагональ) получается, если к элементам группы Dn добавить вертикальные плоскости симметрии, делящие пополам углы между осями второго порядка группы Dn. Разумеется, добавив одну такую плоскость, мы тем самым вводим п плоскостей. Порядок группы Dnd равен 4ft.

Для иллюстрации на рис. 9.2 изображены элементы симметрии некоторых из указанных выше групп. Остальные точечные группы, к которым мы сейчас перейдем, часто объединяют под общим названием кубических. Смысл термина состоит в том, что оси и плоскости симметрии этих групп берутся из числа соответствующих элементов симметрии куба. Примеры кубических групп изображены на рис. 9.3.

Группа тетраэдра, Г, состоит из осей симметрии правильного тетраэдра. Оси второго порядка можно рассматривать как проходящие через центры противоположных граней куба, а оси третьего порядка — как пространственные диагонали куба. Всего в этой группе 12 элементов.

Через Td обозначается полная группа симметрии правильного тетраэдра. Ее можно получить из группы 7\ добавляя к последней плоскости симметрии, в каждой из которых должны лежать по одной из осей второго и третьего порядка. Названные плоскости содержат каждая по два диаметрально противоположных ребра куба и по две диагонали, соединяющие вершины этих ребер. Порядок группы Td равен 24.

Группа Th представляет собой прямое произведение T и Си jh = T X Сі. Таким путем к элементам T добавляются еще три плоскости симметрии, которые делят куб на обычные октанты и превращают вращения вокруг осей C3 в несобственные вращения /C3. Порядок этой группы равен 24.

Группа октаэдра, О, есть группа собственных вращений, переводящих правильный восьмигранник в самого себя. Она содержит оси симметрии куба: оси четвертого порядка, проходящие через центры противоположных граней, оси третьего порядка — пространственные диагонали куба и оси второго порядка, проходящие через середины диаметрально противоположных ребер. Группа О содержит 24 элемента.

ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ

Рис. 9.3. Плоскости и оси симметрии кубических точечных групп. Для групп T и Та показаны также соответствующие правильные тетраэдры (по Ландау и Лиф-шицу [2]).

80

ТОЧЕЧНАЯ СИММЕТРИЯ И ЕЕ ПОСЛЕДСТВИЯ

[4. III

Полная кубическая группа, Oj1, включает все преобразования симметрии куба и представляет собой прямое произведение Of1 = О X Си Она содержит плоскости симметрии, входящие как в группу Tdy так и в 7V Порядок ее равен 48.

9.2. Кристаллографические точечные группы

Кристаллическая решетка помимо симметрии вращения характеризуется также и трансляционной симметрией. Наличие последней, как мы вскоре увидим, сильно ограничивает типы и число осей симметрии, которые могут существовать в твердом теле. Мы не будем здесь детально исследовать все кристаллографические точечные группы, а посмотрим лишь, как условие трансляционной симметрии ограничивает значения возможных углов поворота при собственных вращениях.

Решетка инвариантна относительно группы трансляций

t = /I]O1 + п2а2 + nza3. (9.5)

Здесь величины CLi обозначают векторы основных трансляций, а tii — целые числа. Векторы аг могут иметь разную длину и не обязаны быть взаимно перпендикулярными. Обозначим через /?(ф) какой-либо из элементов точечной группы кристалла, отвечающий собственному вращению на угол ф вокруг некоторой оси. Тогда выражение

*(Ф)«(-Ф) = «' (9.6)

описывает другую чистую трансляцию; его можно переписать в виде

V = п\ах + п'2а2 + п'3а3. (9.7)

Очевидно, что это есть не что иное, как вектор трансляции t, повернутый на угол ф. Можем написать теперь

n; = 2r(/?)„n<. (9.8)

Здесь Г (R) ij — представление преобразования /?(ф). Переходя к обычным декартовым координатам, видим, что оно должно быть эквивалентно представлению D<!> полной группы вращений, построенному на компонентах х, у, г. Как мы знаем^ для полной группы вращений

sin(/ + 4-W

%1 (ф) =-Ц-^- (9-9)

Sin уф

Соответственно

зіп(Зф/2) (9.10)

X WW sin (ср/2)

ГЛ 9] ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ gj

х(ф)
-1 0
1 2
3

ф
180° ±120°
±90° ±60°


Видно, что этот угол представляет собой целое кратное 60° или 90°. Поэтому для оси /г-го порядка, вокруг которой производятся вращения на углы ф = 2nk/n, k = 1, 2, ..., п, в твердом теле возможны только значения п = 1, 2, 3, 4, 6. Например, в кристалле не может быть оси симметрии пятого порядка.

Более полное рассмотрение ограничений, накладываемых на оси симметрии, можно найти в книге [1]; там же перечислены все возможные кристаллографические точечные группы.

9.3. Атом водорода в поле тригональной симметрии

Рассмотрим теперь простой пример того, что обычно называют теорией кристаллического поля. Именно, посмотрим, как снимается вырождение З^-уровня атома водорода, если поместить его в поле с точечной симметрией D3. На языке уравнения (8.1) это означает, что гамильтониан свободного атома водорода рассматривается как Но; роль возмущения Ни ответственного за расщепление атомных уровней, исполняет потенциал с симметрией D3.
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed