Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нокс Р. -> "Симметрия в твердом теле" -> 30

Симметрия в твердом теле - Нокс Р.

Нокс Р., Голд А. Симметрия в твердом теле. Под редакцией Григоровой В.А. — М.: Наука, 1970. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): simvtvtel1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 144 >> Следующая


ГЛ. 10] РАСЩЕПЛЕНИЕ ТЕРМОВ В КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ПОЛЯХ 87

10.3. Двузначные представления

В слабом кристаллическом поле систему характеризуют полным моментом количества движения /. Если квантовое число / принимает полуцелые значения, то волновые функции системы преобразуются по двузначным представлениям полной группы вращений, которые разлагаются на двузначные неприводимые представления точечной группы. Хотя двузначные представления уже рассматривались в гл. 6, имеет смысл воспроизвести здесь рассуждения Бете [1], распространенные в [3] на случай точечных групп.

При вращении на угол <р характер представления DW равен х/(ф),--V x2t . (10.3)

Sin уф

Если число / — полуцелое, то /+у — целое и

sin [(/ + у) (ф + 2я)] = sin (/ + у) ф. (10.4)

С другой стороны, для целых /

sin [(/ + у) (ф + 2я)] = - sin (/ + у) ф. (10.5)

Поскольку

Sinyfa + 2jt)= — 8ІПф, (10.6)

мы приходим к обычному свойству полуцелых представлений: Хі(2я + ф)--хі(ф) (10.7)

при полуцелых значениях /. Заметим, что в то время как Xі (0) = 2/ + 1, т. е. размерности представления,

Х'(2я) =-(2/+1). (10.8)

Единственное вращение, характер которого не изменяется при дополнительном вращении на угол 2я, есть

Х(я)=х(3я) = 0. (10.9)

Вообще же имеем

х(ф)=Х(4я-Ф). (10.10)

Именно это соотношение и наводит на мысль об одном полезном искусственном приеме, который был предложен Бете Именно, будем теперь измерять углы по модулю 4я, а не по

88

ТОЧЕЧНАЯ СИММЕТРИЯ И ЕЕ ПОСЛЕДСТВИЯ

[4. III

модулю 2я (как обычно). Иначе говоря, будем рассматривать вращение на угол 4я как операцию, эквивалентную тождественному преобразованию, и введем некоторое фиктивное преобразование Е; последнее коммутирует со всеми другими элементами; кроме того, E2 = Е. Если первоначально точечная группа содержит ось симметрии «-го порядка, то в новой группе тождественное преобразование получится лишь после 2п-кратного вращения на угол 2л/п. В наших обычных обозначениях имеем

(Cn)»- E9 (Сп)2п = Е. (10.11)

Для отражений

(а)2 = Е9 (а)4 = ?. (10.12)

Инверсия не изменяется; P = E. _

Появление нового элемента симметрии, E9 приводит к образованию «двойной группы», порядок которой вдвое превышает порядок исходной точечной группы. Конечно, двойная группа содержит больше классов и имеет больше неприводимых представлений, чем исходная точечная группа. Поскольку элемент E коммутирует со всеми другими элементами группы, он сам по себе образует класс. Пусть, далее, некоторая ось симметрии группы собственных вращений — двусторонняя (т. е. пусть имеется перпендикулярная к ней ось второго порядка); тогда в двойной группе элементы Cn и Cnn~k = ECn~k (вращения на углы 2я?/я и 2я(2/г— k) In) сопряжены друг с другом. Таким образом, вращения на угол я соответствуют только одному классу двойной группы, если они выполняются вокруг двусторонней оси; в противном случае они соответствуют двум классам*). Каждому классу вращений на другие углы в двойной группе соответствуют два класса. Очевидно, число классов двойной группы может превышать число классов исходной группы максимум в два раза; обычно же их еще меньше.

В число неприводимых представлений двойной группы входят, в частности, и все представления исходной простой группы; при этом обоим преобразованиям E и E отвечает единичная матрица. Сверх того, имеются также двузначные представления (см. гл. 6) точечной группы, в которых элементу E отвечает единичная матрица, умноженная на —1, и %(Т)=—%(ЕТ) (здесь T — вращение на любой угол, исключая поворот на угол я

*) Те же соображения применимы и к группам, содержащим несобственные вращения. При этом, вдобавок, вращение на угол 180° отвечает в двойной группе только одному классу, если ось вращения лежит в плоскости симметрии.

гл 10) расщепление термов в кристаллических полях

вокруг двусторонней оси). Сказанного вполне достаточно, чтобы построить все неприводимые представления двойной группы с помощью обычных методов вычисления таблиц характеров. Пользуясь искусственным преобразованием Е, введенным Бете, мы можем получить двузначные представления двойной группы, приписывая им все формальные свойства обычных представлений. В частности, можно теперь непосредственно воспользовать* ся всеми теоремами, справедливыми для обычных представ* лений.

Рассмотрим, например, тетрагональную группу D4. Ее клас* сам E и 2C4 в двойной группе соответствуют два класса. Далее, так как все оси — двусторонние, на каждый из остальных клас* сов группы D4 приходится по одному классу и в двойной группе. Следовательно, последняя состоит из 16 элементов и 7 классов. Размерности неприводимых представлений определяются coot* ношением

16 = 2* +' 22 + 22 + I2 + I2 + I2 + I2.

Обычным способом находим характеры группы Da (чертой сверху мы отличаем двойные группы), представленные в табл. 10.5.

Таблица 10.5. Таблица характеров группы Z)4*)











E
E
Г2
2C4
2C4
2C2
2C^

г,
1
1
1
1
1
1
1

г2
1
1
1
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed