Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
1
1
-1
-1
Гз
1
1
1
-1
-1
1
-1
г4
1
1
1
-1
-1
-1
1
г5
2
2
-2
0
0
0
0
'га
2
-2
0
........Vf
.......-vf
0
0
г7
2
-2
0
-V2
V2
0
0
*) Новые классы тетрагональной двойной группы обозначаются теми же буквенными символами, что и классы простой группы, из которых они получаются. Принадлежность к двойной группе отмечается чертой сверху.
Пользуясь формулой (10.2), в которой число / заменено полу* целым, /, мы можем найти разложение двузначных представлений полной группы вращений на неприводимые представления группы D4. При этом надо рассматривать только характеры классов E и 2C4, так как все остальные либо равны нулю, либо могут быть получены из этих двух. Результаты представлены в табл. 10.6. Заметим, что в соответствии с общими требованиями двузначные представления полной группы вращений
90
ТОЧЕЧНАЯ СИММЕТРИЯ И ЕЁ ПОСЛЕДСТВИЯ
[Ч. IH
Таблица 10.6. Разложение (2/ + 1)-мерных двузначных представлений группы D4 на неприводимые представления
/
хУ (2C4*)
Неприводимые представления
1/2 3/2
5/2 7/2 4Я,' + /*
2 4 6 8
8Я + 2/'+1
0 0
То же, что /'
гв
г6 + г,
Г6 + 2ГГ 2Г6 + ГТ
2Х (Гв + Г7) + (неприводимые представления для /' = /')
содержат только двузначные представления тетрагональной группы. _
Двойная ^ромбическая группа S2 содержит только один новый класс, Ey поскольку все остальные вращения выполняются на угол я и все оси — двусторонние.
^Существует одно новое двузначное представление с %(Е) = 2, 1(E) =—2 и X(я) = 0. Следовательно, (2/ + 1)-мерное представ* ление группы вращений содержит это новое представление (скажем, Г5) /' + у раз.
Двойная октаэдрическая группа, б, содержит 48 элементов й 8 классов, причем классам E1 6C4 и 8C3 в двойной группе отвечают по два класса. Таким образом, здесь имеются три двузначные представления; поскольку 48 — 24 +,42 + 22 + 22
Таблица 10.7
E
E SC2
6C3
6C3
6C4
8C5 8C5
г6
2
-2 0
-VT
0
1 -1
г7
2
-2 0
Vf
0
I -1
г8
4
-4 0
0
0
0
-I <> 1
Таблица 10.8
/
V,
V2
"/,
Неприводимые компоненты
г6
г8
г7 + г8
гб + г7 + г8
Гб + 2Г8
Гв + Г7 +2Г8
ГЛ. 101 РАСЩЕПЛЕНИЕ ТЕРМОВ В КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ПОЛЯХ
91
(24— из однозначных представлений), то размерности двузначных представлений соответственно равны четырем, двум и двум. В табл._10.7 приведены характеры двузначных представлений группы О: характеры однозначных представлений можно найти в табл. 9.1 (стр. 76).
В табл. 10.8 показано, как расщепляются^некоторые (2/ + 1)-мерные двузначные представления группы О. Видно, что в поле кубической симметрии термы с /^3/2 вообще не расщепляются,
10.4. Примеры
Неэквивалентные электроны в сильном и промежуточном полях. Влияние сильного и промежуточного кристаллического полей удобно рассмотреть на следующем простом примере. Пусть мы имеем атом с двумя электронами сверх заполненных оболочек и пусть эти электроны находятся в различных оболочках, т. е. занимают состояния с различными главными квантовыми числами. Такая ситуация может сложиться, например, при возбуждении атома в кристалле. Пусть орбитальные квантовые числа рассматриваемых электронов равны 1\ и 1% В случае сильного поля надлежит вначале выполнить следующие приведения (строчные буквы используются для обозначения представлений, основанных на одноэлектронных волновых функциях):
Здесь а — коэффициенты. В этом предельном случае энергия системы в нулевом приближении дается суммой одноэлектронных собственных значений в кристалле, Ek + Е„. Собственные функции представляют собой антисимметризованные произведения, преобразующиеся по прямому произведению Yft X Yx дВУХ представлений данной точечной группы. При учете электростатического отталкивания между электронами это прямое произведение раскладывается на неприводимые представления:
здесь ? — обычные обобщенные коэффициенты Клебша — Гордана.
В промежуточном поле прежде всего связываются друг с другом электроны внутри данного атома. Это описывается уже известным нам соотношением
(10.13)
Y* X Yx=A1V
(10.14)
d^Xd^ = 'S Da\
(10.15)
92
ТОЧЕЧНАЯ СИММЕТРИЯ И ЕЕ ПОСЛЕДСТВИЯ
l4. III
Далее представление раскладывается по неприводимым
представлениям данной точечной группы:
Д(Л) = 2Х*Г<- (10.16)
і
Порядок, в котором вводятся различные связи, соответствует относительной важности различных взаимодействий. Следует подчеркнуть, однако, что окончательные термы, Г*, определяются только симметрией кристалла и не зависят от силы кристаллического поля. В случае промежуточных полей основное состояние в кристалле отвечает основному же состоянию свободного атома. Однако в случае сильных полей это, вообще говоря, не обязательно. Желая найти корреляцию между результатами, полученными в сильных и промежуточных кристаллических полях, запишем гамильтониан в следующем виде:
H = #at + AVcryst- (10.17)
