Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Равенства (42) — (44) в сущности исчерпывают всю информацию, которую можно получить, рассматривая преобразование (e\txy). Все дополнительные сведения о правилах отбора получаются из рассмотрения элементов симметрии, не содержащих трансляций. Поэтому в табл. VI мы перестроили полученную Херрингом таблицу характеров в точке X (табл. VII) так, чтобы
Таблица VII. Характеры в точке X = (2л/а) (1,0, 0)
32
Классы
X2
X4
1
(8|0)
2
2
2
2
1
<***|0)
2
2
-2
-2
2
(Vlt + '*y> (62уг1*)*)
0
0
-2
2
2
(Руг- Pyz I 0)
2
-2
0
0
1
W*xy)
-2
-2
-2
-2
1
(*>2Х I txy)
-2
-2
2
2
2
(*2*IT> (Vlt + '*f)
0
0
2
-2
2
(Руг- Руг1'*у)
-2
2
0
0
2
(«К т + ь„)
0
0
0
0
4
(62У, I 0, tXy)
0
0
0
0
4
К>Кх1\Г>Г + *ху)
0
0
0
0
4
(Ру> PzK * + txy)
0
0
0
0
2
(Px I t, T + fry)
0
0
0
0
4
0
0
0
0
*) Величина т =— (txy + tyz + tzx} есть вектор, проведенный из атома, расположенного в начале координат, к его ближайшему соседу в первом октанте.
вся дополнительная информация содержалась в первых четырех классах. Если типичный элемент одного из этих классов содержит преобразование (a|f), то в другом классе будет (с противоположным характером) преобразование {a\t + txy)\ новой
408 м. лэкс. ДЖ. ДЖ. ХОПФИЛД
Таблица VIII. Характеры в точке W = (2я/а) (1, 0, !/г)
32
Классы
W1
V.
1
(E |0)
2
2
2
(«4z|0)> КХ\*гх)
1 + і
-1 -/
1
(*\tyz)
-2/
-2/
1
(*\txy)
-2
-2
1
(8¦I t2X)
2/
2/
2
(? I ^).(?'I °)
-1+/
2
-1-/
1+/
2
(? I '«)• (?' I U
-1+/
1 -/
2
(*2z I 0, ^)
0
0
2
(&2* I tyz, tzx)
0
0
4
(t>2xy\* + tyv T + tzx\ (b2sty\X% 1 + txy)
0
0
4
(ЧІТ'Т+У« (??,!*+',*
0
0
4
(Рлг I t, T + tXy), (Py I T + fT + fZA:)
0
0
4
(Px I t + t + (P1, | T, T + txy)
0
0
Таблица IX. Характеры в точке Z-<2n/e)(1.0, q)
8
Классы
1
(е 10)
2
1
(е I try)
-2
2
(U2* 10, ^)
0
2
(PxI*, * + *гу)
0
2
(Py I t, T + f
0
информации при этом не получается. Так обстоит дело с восемью классами. Остальные шесть содержат пары элементов (а|/) и (a\t + txy) с одинаковыми характерами. Согласно (44), однако, эти характеры должны быть противоположными по знаку. Следовательно, для физически допустимых представлений Хи Х2> XZl X4 все они обращаются в нуль.
Покажем, что эти классы не дают новой информации, связанной с условиями симметрии. Для этой цели рассмотрим подробно класс, содержащий парные элементы (i\x), (i\x + txy). Со-
правила отбора для матричных элементов 409
*) С. Herring, частное сообщение.
27 Р. Нике, А. Голд
гласно равенствам (42) и (43), произведения характеров L X Lt имеют для этих элементов противоположные знаки. Поэтому произведение характеров, усредненное [по образцу (10)] по всем элементам класса, равно нулю. Это согласуется с характерами всех четырех трансляционно разрешенных представлений Х\, X2, Xz и X*. Следовательно, инверсия не дает здесь никаких правил отбора. То же относится и ко всем остальным пяти классам, содержащим парные элементы.
Не случайно, таким образом, что свойства четырех физически возможных представлений определяются четырьмя соответствующими классами. Наша сокращенная таблица VI дает при этом всю информацию, необходимую для определения правил отбора:
L1+ X LA = X1+ Xz. (45)
Один из нас (М. Лэкс) покажет позднее (см. статью № 17), что представление Xz на самом деле запрещено инверсией времени.
Для полноты в табл. VIII и IX даны характеры представлений в точках W = (2л/а) (1, 0,1/2) и Z = (2л/а) (1, 0, q). В первой из этих таблиц информация, не связанная с трансляциями, содержится только в двух верхних строчках. В табл. IX существенна только верхняя строчка, отвечающая тождественному преобразованию. Таким образом, в точке W разрешены два представления, а в точке Z-одно. Табл. VIII составлена с учетом поправок, внесенных Херрингом*)в его работу [9]. Табл. IX взята из той же работы. О существовании двумерного представления в точке Z было известно еще Хунду [10].
Междолинное рассеяние в кремнии
В кремнии существуют два типа междолинного рассеяния. В первом случае электрон с квазиволновым вектором ft переходит в состояние —ft, поглощая или испуская фонон, волновой вектор которого равен —2ft. Этому переходу соответствует матричный элемент
J ¦L4K (- 2ft) *4 rfr - J (2ft) dr. (46)
Можем положить, таким образом, ft = (ft, 0,0), ft' = ft и ft" = 2ft. Поскольку направления векторов ft и ft" совпадают, ft''-звезда вектора ft есть просто вектор ft. Соответственно, никаких дополнительных множителей, связанных со звездой, не появляется, и мы можем просто воспользоваться группой Gk,
410
м. лэкс, дж. ДЖ. ХОПФИЛД
вычисляя произведение характеров обычным способом! Таким путем получается важное правило отбора:
A1 X A1 = A1. (47)
Следовательно, в кремнии электрон, находящийся на краю зоны, может перейти из одного минимума в другой, ему противоположный, взаимодействуя только с продольными акустическими фононами. (Так же обстояло бы дело и в том случае, если бы волновая функция электрона на краю зоны обладала симметрией A2, Ar или Ar, т. е. для любого невырожденного состояния.)
