Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Xі х <(С) = х'(R)%i(R),
где R— любой элемент класса С.
Окончательная формула (14), которой мы и будем пользоваться в конкретных задачах, не зависит от избыточности г. Однако эта избыточность известна. Если S\k) = R\k), то элемент S~lR = U входит в общую группу Gs/Ts порядка A5. Таким образом, hs элементов смежного класса SU (U пробегает все элементы общей группы) образуют одну и ту же точку SI ft) этой звезды. Соответственно, избыточность будет равна порядку общей группы,
г = hs. (15)
Чтобы число элементов, отвечающих трансляциям, осталось неизменным, используем фактор-группы GkIT8, GklTs> GwIT8 и GsIT8. Различные элементы ft''-звезды вектора ft получаются тогда в результате действия элементов фактор-группы
(GwIT8)I(GsIT8) в (GWG5), (16)
если только G8 есть инвариантная подгруппа группы Gktf. Во всяком случае, пользуясь левым смежным классом SU, видим, что число элементов звезды есть
Nw звезда r ( (і 10)) = AWAj. (17)
Здесь hk> и hk суть порядки фактор-групп волновых векторов ft" и ft, из которых удалено по одному и тому же числу трансляционных элементов; (е|0) —тождественный элемент. Поскольку условие ft" = 0 определяет полную звезду вектора ft,
26*
396
М. ЛЭКС, ДЖ. ДЖ. ХОПФИЛД
справедливо неравенство
hk"lhs ^ hofhk
или (18)
hs > hkhk»lho.
Здесь Ло — порядок фактор-группы волнового вектора k" = 0. Это неравенство полезно для проверки того, найдены ли все элементы «общей группы» (их число равно /ls).
Мы предпочли геометрическую интерпретацию равенства (13), рассматривая fe''-звезду вектора ft, поскольку ее свойства очень наглядны, а характеры вычисляются в уме. Это, однако, не более чем прием, позволяющий нам избежать обращения к общей группе Gs/Ts. Если же последняя известна, то правую часть (11) можно вычислить и другим способом, пользуясь известным соотношением
S RbC
или
2 / (S-1RS) = hk»ns (С)/п* (С). (20)
S
Здесь пи» (С) есть число элементов класса С фактор-группы (Gk»ITs)> a ns(C)—число элементов класса С, принадлежащих общей группе (Gs/Ts). Последние не обязаны попадать все в один и тот же класс названной группы.
Комбинируя равенства (11), (14) и (20), мы получаем
звезда * (С) = (hk»lhs) [ns (C)ItIk» (C)I (21)
Значение ns(C) легче всего найти, взяв таблицу характеров группы волнового вектора ft и сосчитав число элементов, принадлежащих одновременно и группе волнового вектора ft". Равенство (21) удобно для проверки непосредственных вычислений в представлении звезды; чтобы воспользоваться им, надо знать только сами элементы общей группы, но не их распределение по классам и не таблицу характеров названной группы.
Избыточность. Сравнение с результатами Эллиота и Лудона
До сих пор молчаливо предполагалось, что избыточность, характеризующая множество волновых функций (3), та же, что и фигурирующая в формуле (13). В противном случае характеры определялись бы с точностью до постоянного множителя. Последний не повлиял бы на правила отбора, но мы не знали
ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 397
бы, сколько раз, cijnu представление хт повторяется в представлении произведения:.
%'x'(C)=2%mXm(C). (22)
т
Окончательный результат расчета имеет вид
= TT S %'х ' *с> **" (с> *т (с>*- <23>
*" с
Его можно получить также, пользуясь в качестве базиса представления общей группы GsIT4 системой функций
+К*, г) ^i1(V, г')С(*"> 'Т. (24)
не содержащей избыточных элементов. Применять операторы S здесь уже не нужно, ибо элементы U общей группы оставляют волновые векторы ft, ft' и ft" неизменными. Надо определить, таким образом, коэффициент, с которым тождественное представление входит в представление тройного произведения. Пользуясь аппаратом стандартной теории групп, составим произведение характеров; в результате получим
S Xl(V)xJ(U)Xm(Vr- (25)
Это — тоже практически довольно удобная формула. Можно показать, что этот метод эквивалентен предыдущему (см. равенство (14)). Для этой цели надо лишь распространить суммирование в (25) на все элементы R группы волнового вектора ft", введя туда еще множитель J(R), выделяющий элементы U из элементов R:
= Т7%*>1 <*> х; (R) J (R) %m (Kf. (26)
* R
Просуммируем сначала по всем элементам класса, а затем по всем классам. Получим
c^=ii:2["T1 t^W S TtWit!MnR)\n*>(C)rr{C). (27)
С L 5 RbC J
Сравнивая полученное выражение с формулой (23), видим, чго выражение в квадратных скобках можно интерпретировать как характер і X / представления:
„.«,((П_2!Х'(*)Х'(Л)/(Я) hb„ (R)
398
м. лэкс, дж дж. ХОПФИЛД
Сопоставляя далее равенства (10) и (21) и соотношение
2 J(R) = ns(C), • (29)
r в С
видим, что формула (28) совпадает с прежним результатом (14).
Непрямые оптические переходы в Ge
Зонная схема Ge вблизи границ запрещенной зоны представлена на рис. 1. Минимум зоны проводимости лежит на границе зоны Бриллюэна в точке L= (я/а) (1,1,1). Соответствующие волновые функции обладают симметрией . Максимум
0,5
S 0,3 v!~ 0,2
Uj
-0,1
