Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
r)%{k\ г'). (3)
Здесь индексы X и [X принимают свои обычные значения, a S обозначает все возможные элементы фактор-группы GWTV •
Это утверждение может показаться таинственным, если вспомнить, что элементы S фактор-группы Gk-ITk" суть смежные классы. Однако последние имеют вид (а | т) 7V, и для любого элемента группы трансляций 7V можно написать
7Vi|>(*"> г) = ф(*"> г).
Это есть по существу определение группы Tk". Поэтому все элементы любого смежного класса одинаковым образом действуют на волновую функцию г). Тогда вычисления можно про-
водить по обычной схеме, а именно, использовать в качестве элемента S не смежный класс, а любой «репрезентативный элемент» его. Поскольку произведение \p(k, г) $(к\ г') имеет те же трансляционные свойства, что и г), есть все основания
ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 393
26 Р. Нокс, А. Голд
рассматривать S в выражении (3) как такой репрезентативный элемент.
Конечно, не все элементы S приводят к появлению новых волновых функций (см. (3)). Принимая во внимание эту возможную избыточность, мы можем вычислить характер элемента R класса С фактор-группы Gk-ITu». Именно,
0С'Х/(С) =
- T S JJ fS*i * г> Г'>Г *s+l <*¦ ') +і О Л" dS. (4)
5. А., ц
Здесь г — целое число; на него мы делим, чтобы исключить избыточность. Однако матричный элемент
/¦i (ft, r)VAS*i(ftf r)rfr (5)
равен нулю, если элемент S-1RS не принадлежит группе волнового вектора ft. В противном случае оператор S-1RS либо оставляет волновой вектор ft неизменным, либо изменяет его на вектор обратной решетки. Выполним в (4) суммирование по к и ja. Получим
Xі х' (С)=у S х' (S-1AS) х' (s"l/?s) / (s-'/?s). (6)
Здесь J(U)= 1, если элемент U — общий для групп волновых векторов ft, ft' и ft" (т. е. принадлежит фактор-группе Gs/Ts); в противном случае J(U) = O. Заметим, что элемент S-1RS автоматически принадлежит группе волнового вектора ft", поскольку этим свойством обладает каждый из множителей, т. е.
S~l#Sft" = ft", (7)
Если к тому же
S'1 RSk== ft, (8)
то это соотношение справедливо и для вектора ft' (для доказательства достаточно из уравнения (7) вычесть уравнение (8)). Таким образом, практически величина J(U) нужна только для выполнения «проектирования» на одну из групп волновых векторов, ft или ft', но не на обе.
Поскольку элементы S-1RS при суммировании по S пробегают весь класс С (целое число раз), уравнение (6) автоматически дает результат, не зависящий от выбора элемента R класса С. Уравнение (6) можно переписать в более привычной форме:
Xі XI(C) = (%l (С) х> (С)) /С, (9)
394 м- лэкс, дж. ДЖ. ХОПФИЛД
где
<х''(С) х'* (C))= 2 %'(S-1RSh'(s~] rs)j(s~1 rs)I % /(S-1^s) =
S S
= 2 Xі (R) Xі (R) J(R)I S J(R) (Ю)
RbC RbC
есть произведение характеров, усредненное по элементам R класса С группы волнового вектора k", которые принадлежат общей группе. Выражению
5
можно дать простую геометрическую интерпретацию. Обозначим через \к) точку в зоне Бриллюэна. Тогда множество S\k) содержит неэквивалентные точки |ftj), повторяющиеся с избыточностью г. Назовем множество точек \kj) ^"-звездой вектора k (или подзвездой, поскольку она получается из вектора \k) в результате действия элементов группы волнового вектора к"Ф0). Можем написать
J(S-1RS) = (k\S'lRS\k). (12)
Входящий сюда матричный элемент равен единице, если элемент S-1RS принадлежит группе волнового вектора ky и нулю в противном случае. Следовательно, формулу (11) можно переписать в виде
S І
В первой части (13) стоит след или характер элемента R в представлении этой подзвезды; избыточности здесь уже нет. Равенство (9) принимает теперь мнемонически удобную форму, а именно
Xі Х 1 (С) = (Xі (С) %1 (С)) N* звезда * (С). (14)
Здесь К = Nk> звезлаь (С) — число точек | kj) подзвезды, которые остаются неизменными (т. е. остаются инвариантными либо переходят в эквивалентные точки) при любых операциях R класса С. В некоторых случаях эта подзвезда упрощается. Если k" = 0, то подзвезда идентична обычной звезде. Если k или k' = 0, то подзвезда имеет только один луч. В этом случае К = 1 или 0 и последний множитель в (14) можно опустить, приняв лишь условие, что результат усреднения объявляется равным нулю, если соответствующий член в сумме отсутствует.
ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
395
Обсуждение групповых результатов
Рассмотрим те элементы R класса С группы волнового вектора ft", для которых слагаемые в правой части (10) отличны от нуля. Эти элементы, очевидно, принадлежат группам волновых векторов к и к!\ Пусть они входят все в один класс группы волнового вектора к и в один класс группы волнового вектора ft'. Тогда типичное произведение характеров совпадает со средним и процедуру усреднения, указанную в (14), можно опустить. Это получается тривиально, если только один из элементов/? класса С дает вклад в (10). Часто это получается случайно. Нетривиальный случай, при котором эти условия выполняются автоматически, имеет место, когда k' = 0. Тогда группа волнового вектора к" = к есть подгруппа группы волнового вектора ft' = 0 и классы при ft' = 0 содержат в себе классы при ft. При этом в случае ft' = 0 мы имеем просто
