Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
1. Введение
В настоящей статье мы покажем с помощью элементарных прямых методов, что инверсия времени приводит к дополнительным правилам отбора при междолинном рассеянии в германии и кремнии. Далее будет развита теоретико-групповая техника, пригодная и для исследования вырожденных случаев. Применим оператор инверсии времени к обычному тройному произведению характеров, появляющемуся при нахождении правил отбора. Тогда произведение характеров начального и конечного состояний заменится на симметричное или антисимметричное
414
м. лэкс
произведение*) в зависимости от знака в правой части следующего равенства:
a^fK2= ± 1. (1.1)
Величина /= ±1 описывает поведение потенциала возмущения V при комбинированном преобразовании F1 состоящем из эр-митовского сопряжения * и инверсии времени Л':
V = FVF~l = KV*K~[ = fV. (1.2)
Собственные значения К2 равны ± 1 в зависимости от того, меняется или не меняется знак волновой функции системы при вращении на 360°, К2 = (—1)п, где п — число частиц с полуцелым спином, входящих в систему.
Далее эта процедура объединяется с техникой, предложенной в работе [4]**) для рассмотрения пространственных групп и правил отбора, связывающих различные точки зоны Бриллюэна.
2. Непосредственный метод
2.L Междолинное рассеяние в германии
Дно зоны проводимости германия лежит в точке L = = (л/а) (1, 1, 1). Волновая функция электрона там имеет симметрию L1 (см. рис. 1 в [4]). Как можно показать, для электронных переходов между исходной L и преобразованной L1 долинами справедливо соотношение
L1X LU = X{+ X3. (2.1)
Здесь представление Xx соответствует вырожденным продольным акустическим и продольным оптическим фононам, а представление Xz — поперечным акустическим фононам с волновым вектором q = (2я/а) (1,0, 0) (см. [4], рис. 4). Покажем теперь, что последнее представление, X3, запрещено, т. е. что
Jo2^ (г) V (X31 r)^L(r)dr = 0. (2.2)
Здесь 02х$>ь(г) есть волновая функция электрона в долине около точки (1,—1,—1). Матричный элемент (2.2) равен нулю, так как функция [O2xt|?(r)]tf>(r) не меняет знака при двукратном повороте вокруг оси X1 о2л:, в то время как потенциал взаимодействия электронов с фононами симметрии X31 V(Xz1 г), меняет знак при таком вращении. (Характер элемента б2х в двумерном представлении X3 равен —2; см. табл. 7 работы [4].)
*) Эти понятия определяются в работах [1, 2] и подробно рассматриваются в подготавливаемой к печати книге [3].
**) Мы будем пользоваться обозначениями, принятыми в [4].
ВЛИЯНИЕ ИНВЕРСИИ ВРЕМЕНИ НА ПРАВИЛА ОТБОРА 415
2.2. Междолинное рассеяние в кремнии
Электронный переход из точки A = (ft, О,0) в точку А/ = = (0, —ft, 0) описывается матричным элементом
j 9,y^(r)V(r)^(r)dr. (2.3)
Ранее было получено следующее правило отбора:
A1 X А,/ = S1 + S4. (2.4)
Выражение [р^фд (г)] фд (г) не меняет знака при преобразованиях р/у, в то время как представление S4 — нечетное (см. [4], [3], табл. 10). Следовательно, это представление запрещено. Разрешено лишь взаимодействие с фононами типа S1 (это смесь LA и ТО\\ г — продольных акустических и поперечных оптических, поляризованных вдоль оси z).
2.3. Непрямые оптические переходы в кремнии
В работе [5] не удалось обнаружить оптических переходов с участием продольных акустических фононов (LA). Тем не менее эти фононы (с симметрией Ai), по-видимому, могут принимать участие в электронных переходах из минимума в точке A1 в состояние в точке ft = 0 (см. [4], рис. 3). Действительно,
TTs X A1 = Ai + A5 = LА + (ТО + ТА) (2.5)
или
Al X A1 = Г+ + T12 + IT5 (2.6)
(см. формулу (37) и табл. 11 в [4]).
Матричный элемент можно записать в виде
J t|> (TTsT V ( — k)ty (ft) dr=\ [IV (ft, г)] г|> (ft, г) ф (ГГв, г) dr. (2.7)
/ — оператор инверсии. Поскольку функции V(ky г) и -ф(й, г) преобразуются по одному и тому же одномерному неприводимому представлению A1, есть смысл — для симметрии — заменить V(ft, г) на i|)(fc, г). Тогда мы можем утверждать, что выражения [A|>(ft, r)]$(k, г)] и г|)(ГГб, т) — соответственно четное и нечетное относительно инверсии / (на что и указывает знак минус).
Однако справедливость условия
V (ft, r)/i|)(ft, г) = четное (или вещественное) (2.8)
не может быть установлена с помощью соображений симметрии. Соотношение (2.8) приближенно справедливо для малых значе.
416 м лэкс
*) См. также Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц, Квантовая механика, ч. 1. Нерелятивистская теория. Изд. 2-е, Физматгиз, 1963. —Прим. ред.
ний ft, так как при этом все функции Ai переходят в нечетную функцию Г^. Оно может также оказаться приблизительно правильным и для значений ft больших, чем могло бы показаться на первый взгляд, так как на границе зоны в точке Х\ уровни Ai и A2/ пересекаются плавно и с ненулевым наклоном.
Ситуация не становится легче, если предположить, что минимум лежит в точке Ху так как произведение представлений Х\ X Xi содержит представление ^Ts (см. [4], табл. 11), а состояния Ai не имеют определенной четности в точке X.
