Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Вещественное Вещественные 1 11 0 (5 10)
Псевдовещественное Вещественные 1—10 1 \ • /
Комплексное Комплексные ООО о
Обычно дополнительное вырождение возникает при N = 0, т. е. для псевдовещественных и комплексных представлений в системе без спина и для вещественных и комплексных представлений в системе со спином.
6. Применения к пространственным группам
В работе [7] рассматривались матричные элементы вида
{ % (*'. г) V (ft", г)* ф/ (ft, г) dr; ft" = ft + ft'. (6.1)
При этом использовались только элементы группы G5, составленной из общих элементов групп Gk и Gk'. Символ обозначает равенство с точностью до вектора обратной решетки. Из примеров, приведенных в разделе 2, следует, что инверсия времени дает дополнительную информацию, если (и только если) в группе Gk' существует такой элемент Q, что
Qk = W1 (ft, г)г).
(6.2)
420 М. ЛЭКС
Из условия Qk"== к" вытекают, далее, соотношения
Qk' = k и Q2A = A. (6.3)
Следовательно, интересующие нас элементы входят в группу G8 + QG8 (новые элементы QG3 представляют векторы кик'). Как и в работе [4], окажется более удобным работать непосредственно с группой Gk"\ однако наша окончательная формула (6.11) фактически будет содержать только указанные выше элементы G8 и QG5.
В работе [4] уже отмечалось, что функции i|^(?', r)tyfv(k, г) не образуют базиса представления группы Gk». Дело в том, что некоторые элементы S названной группы выводят нас за пределы пространства, натянутого на эти функции. В качестве базисных можно взять функции
S[H(V9 г0+4(*,г)], (6.4)
где S пробегает множество элементов группы Gk», таких, что
Gk»= IiSG3. (6.5)
5
Это — стандартная процедура, с помощью которой можно по соответствующему представлению подгруппы G8 найти представление группы Gk» [3]. Пусть Si и S2 суть элементы одного и того же смежного класса. Тогда произведение Si S2"1 будет элементом группы G8 и оно не выводит функции tyfov за пределы рассматриваемого пространства. Таким образом, надо взять только по одному элементу из каждого смежного класса, и избыточность, описанная в работе [4], не имеет места.
Единственная существенная модификация процедуры, предложенной в [4], связана с тем, что мы должны вычислить характер симметричного (антисимметричного) произведения, а = ±1. Следуя сокращенному методу (3.6), имеем
X" х '> (Юа = S J J [$< О Ц (*> г)]' R X
s|iv
XyS[^(*', г')(k, г) + а%(к', г) +/ (ft, г')Idrdr' = (6.6)
- т ? Xі (S-1SS) х' (S-1RS) J(S-1RS) +
s
+ T « S К (*0. S-1RS^ (к)} {< (к), S-1RS^l(к')}. (6.7)
ВЛИЯНИЕ ИНВЕРСИИ ВРЕМЕНИ HA ПРАВИЛА ОТБОРА 421
(6.8)
Первое слагаемое с точностью до множителя 1/2 совпадает с правой частью равенства (6) из [4]. Множитель / определяется соотношениями
J(U)=I при U*=Gsy J(U) = O в других случаях.
Действительно, рассматриваемые матричные элементы равны нулю, если только преобразование S-1RS не оставляет векторы к и к' без изменения. Во втором слагаемом первый сомножитель равен нулю, если преобразование S-1RS не переводит вектор к в к'\ второй же сомножитель равен нулю, если это преобразование не переводит вектор к' в к. Иначе говоря, либо преобразование S-1RS должно быть оператором перестановки, либо элемент S-1RSQ должен входить в группу G8.
Итак, второе слагаемое можно записать в виде
у a S DIv(Q-1S-1RS) D^(S-1RSQ) J(S-1RSQ)9 (6.9)
suv
и для характера произведения мы получаем
xQ/ х' (Ю*=і S %' (S-1RS) %> (S-* RS) J (S-1 RS)+
s
+ Y<* 2*' {(5"W} J (S"1 RSQ). (6.10)
s
Очевидно, в сумме по 5 элемент R последовательно превращается во все элементы своего класса С. Соответственно выражение (6.10), как и в [4], можно представить в более простом виде:
XQ! х ' (R)a - т (Xі (R) XJ (R)) с N(R) + ±a (XJ (R2))c N (RQ). (6.11) Здесь
x(R) = x!(Q"]RQ)^xf(Rl (6.12)
(xl(R)xJ(R))c= 2 x'(R)xJ(R)J(R)l 2 J(R) (6.13)
RbC RbC
И
N(R) = % J(S-1RS)=^1 (Sk\R\Sk). (6.14)
s s
Согласно [4], в отсутствие избыточности величина N есть число тех точек в звезде вектора {Sk)1 которые в результате
422 м. лэкс
Междолинное рассеяние
в германии
R
R2
xW2) Rb2,
R2N(Rb2x) L1
X Lu
(LiXLu) +
(е/0)
є
1 02Л:
0
0
4
2
»2ГІ0)
є
1 Є
4
4
0
2
є
1 &2yZ
2
2
-2
0
(Р* I 0)
е
J Pyz
2
2
2
2
Ol т)
е
1 Рл:
0
0
0
0
B предпоследнем столбце даны характеры произведений, вычисленные без учета инверсии времени (они взяты из табл. VI работы [4]). Последний столбец относится к симметричному произведение полученному усреднением двух предыдущих столбцов. Из сравнения с характерами в точке X (см. табл. VI в [4]) следует, что (LxXL^)+=Xy
В случае, когда потенциал V преобразуется по представлению Vm группы Gk», правила отбора получаются из стандартного выражения
-^7 S Xm(*)%Q/x/(A)e- <6Л7>
Воспользуемся теперь соотношением (6.11), заменяя там R на SRS-1 и принимая во внимание равенство %т(SRS~l) =xm(R)-Получим вместо (6.17)
