Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
404
м. лэкс, дж. ДЖ ХОПФИЛД
(между точками F25 и A5) с участием фононов Для произведения представлении мы имеем
Г2+5 XA5 = (A5) + (Ai + A2^ + Ar + A2 = (ТО + ТА) + (LA + LO), (36)
т. е. в таком переходе могут участвовать фононы всех типов. Если, однако, сначала происходит излучательный переход, то указанные фононные процессы могут быть маловероятны, ибо соответствующий энергетический знаменатель довольно г»-"ч
-f,2l_L_I_\_I
к=к а1 (111) k=(000) 2ica ''(10O)
Рис. 3. Зонная схема кремния вблизи границ запрещенной зоны [11].
Более существенными оказываются фононные переходы в зоне проводимости (между точками Ai и Гіі). При этом
Г,1 X Ai = Ai + A5 = LА + (ТО + ТА), (37)
так что здесь теория групп запрещает только переходы с участием фононов типа LO. С другой стороны, в опытах Хейнса были обнаружены только пики, соответствующие переходам с участием двух поперечных фононов. Вклад LA фононов оказывается малым по причинам, по-видимому, не связанным с теорией групп. Возможная роль обращения времени будет рассмотрена в следующей статье.
Возможные подводные камни: междолинное рассеяние в Ge
В видах иллюстрации осложнений, с которыми можно столкнуться как при интуитивном, так и при формальном подходе, рассмотрим междолинное рассеяние в Ge. В этом веществе минимумы зоны проводимости k0 лежат на границе зоны Бриллюэна в точках ko = (1,1, 1); (1,-1,-1); (—1, 1,-1) и (—1,-1, 1). При этом точки —к0 и к0 эквивалентны.
ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ Л\АТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
405
В точке k0 волновая функция электрона в зоне проводимости имеет симметрию Li=L+, т. е. она не меняет знака при инверсии и принадлежит невырожденному единичному представлению, все характеры которого равны +1.
Казалось бы теперь, что электронный переход между четными состояниями L1 в точках (1,1,1) и (1,—1,—1) требует участия четного фонона (2,0,0). Из таблицы характеров в точке X явствует, однако, что имеются четыре неприводимых представления X], X2, X3, X4. Все они двумерные и у всех характеры, соответствующие инверсии, равны нулю. Эти представления, следовательно, могут считаться наполовину четными и наполовину нечетными. Это можно было бы понимать так, что в переходе разрешено участвовать одному из двух ТА фо-нонов с симметрией X3, одному из двух ТО фононов с симметрией X4 и одному из двух (LO + LA) фононов с симметрией Х\. Этот вывод, однако, противоречит нашему прежнему утверждению [в связи с выражением (1)], что правила отбора относятся к полным представлениям. Тогда, по-видимому, надо считать, что переходы с участием X1, Xz и X* фононов либо все разрешены, либо все запрещены.
Эллиот и Лудон, пользуясь формулой (25), показали, что представления Xj и X4 разрешены. В то же время наш расчет дает
L1XLw=X1H-X3, (38)
где Lu — представление, полученное из L1 путем перехода из точки (1,1,1) в точку (1, —1,-1). Поскольку, как мы видели, методы Эллиота — Лудона [1] и наш эквивалентны, причину расхождения следует искать в способе их применения. Ответ был найден в беседе с Эллиотом. Последний полагал, что Lu есть единичное представление группы волнового вектора (1,—1,—1) и все характеры его равны +1. Мы же пользовались
Рис. 4. ионов
0,4 0,6
Дисперсионные кривые для фо-в кремнии [13]. См. подпись к рис. 2.
406 м. ЛЭКС, ДЖ. ДЖ. ХОПФИЛД
Таблица VI. Характеры, необходимые для исследования междолинного
рассеяния в Ge
ЛС-звезда L L1+
*|
X2
*з
*4
<*Ю)
4 1
1
4
2
2
2
2
(*2лЮ)
0 ...
. . .
0
2
2
-2
-2
(<ЫТ)
2 1
-2
0
0
-2
2
(р*1°)
2 I
1
2
2
-2
0
0
(Mt)
4 1
-1
0
0
0
0
0
(J I * + tXy)
-1
-1
* (a 11 + txy) - - * (а I *) (г) = O2x^ (г)
L(b\t + txy) = - L(a\t) I/(« IO-^( (*2х I O)(Ol 0 (6^ I 0))-
(« I * + M = Lt (а U) - L (*2лгао2х \ b2xt)
b2xtxy e О o2** A O2* (Т + txy) = * + *ху
L+ X Lj^« ^1 +X3 запрещено инверсией времени
через характеры представления в точке L по формуле
Lt [(«I *)] = L [{Ь2х I O) (а 11) (Ь2х 10)] = L [(62жа62,1O2,*)]. (40)
Для сокращения записи вместо привычного символа %Lt[(a\t)] мы пишем просто Lt[{a\t)]-Соотношения
*>2х*хУ *= 0; Ь2хх = Ь2х (т + txy) = r + txy (41)
облегчают вычисление искомых характеров и приводят к равенству
Lt(a \t + txy)~ Lt(a\t). (42)
В точках LnX имеем, соответственно:
L{a\t + txy)=-L(a\t)f (43)
X(a\t + txy)=-X(a\t). (44)
характерами, приведенными в табл. VI. Они были получены с помощью следующего соотношения, связывающего волновые функции в двух точках симметрии:
4Vr) = O2x^ (г). (39)
Таким образом, характер представления в точке L1 выражается
ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
407
Представление L1 четно относительно операции (e\txy) и, следовательно, L X Lt нечетно. Поэтому нам нужны только нечетные представления в точке X. Это — четыре физически разрешенных представления Хь X2, X3, X4, поскольку их трансляционные свойства определяются множителем exp(/fe«r) при k = (2л/а) (1, 0, 0). Остальные десять представлений (рассмотренных Эллиотом) четны относительно преобразования (z\txy) и, следовательно, запрещены.
