Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Можно заключить, таким образом, что мы нашли возможную причину малой интенсивности излучения с участием фононов типа LA. Однако вполне удовлетворительное объяснение должно основываться скорее на физических, а не на теоретико-групповых соображениях.
3. Представления симметричных произведений
Все примеры, рассмотренные выше, можно записать в виде
J H(r)V(rW4(r)dr=l ^r)V (г, rO^Wdr. (3.1)
где
К (г) = (г) (3.2)
и
V(гу ґ) = У{г)6{г-ґ). (3.3)
Мы ввели здесь нелокальный (может быть) потенциал V(г, г'), так как все предыдущие соображения в равной мере применимы и в отсутствие условия локальности (3.3); надо лишь, чтобы выполнялось условие симметрии
V [г'у r) = V(ry г'). (3.4)
Используемый выше прямой метод удобен, в основном, для одномерных представлений. Его, однако, можно обобщить и сформулировать на языке теории групп. Для этой цели вместо обычного произведения представлений, базисом которого служат функции ^(r)^(rO, надо рассмотреть симметричные (антисимметричные) произведения [1—3]*) с базисом
Здесь а = ±1.
ВЛИЯНИЕ ИНВЕРСИИ ВРЕМЕНИ HA ПРАВИЛА ОТБОРА 417
*} Это преобразование подробно рассмотрено в [6] и [3].
Характеры этих представлений проще всего найти с помощью соотношений
xQt х 1 (R)a = S {< M t{ (г). R%v (г, г')} = (3.6)
= 4 %' (R) х' (R) + Y a S DU (RQ) DUq-1R}. (3.7)
[iv
XQ/ х' (R) = j Xі (R) УІ (R) + у a%i (R2I (3.8)
где
хЧ*)-X7C(T1AQW (*>• (3.9)
На последнем этапе (3.9) было сделано предположение, что Q есть элемент группы. Конечный результат — такой же, как и для обычного симметричного произведения (когда -ф^ = ^). Действительно, оператор Q просто меняет нумерацию базисных векторов -ф?, в то время как выражения для характеров отражают свойства самого рассматриваемого пространства и от названной нумерации не зависят.
Равенство (3.6) отвечает краткой форме записи, при которой игнорируется неортонормированность функций t|)?v. Этот прием, однако, был строго обоснован в книге [3].
4. Инверсия времени *)
Условие инвариантности относительно инверсии времени неявно уже фигурировало в предыдущих рассуждениях, ибо оно предопределяет свойства симметрии потенциала V(г, г'). Прежде всего заметим, что потенциал возмущения всегда можно представить в виде суммы слагаемых, четных и нечетных относительно преобразования F равенства (1.2):
V=zFVF-l = fV; /=±1. (4.1)
(Поскольку оператор F коммутирует со всеми операторами симметрии, указанное разложение не меняет трансформационных свойств V относительно пространственной группы: функция V = V™ по-прежнему преобразуется по какому-нибудь неприводимому представлению т названной группы.) В отсутствие спина /С = /Со — оператору комплексного сопряжения. Тогда
V = (V+)* = V, нет спина;
или } (4.2)
V (г, ґ) = V (г', г), нет спина.
418 м. лэкс
Следовательно, в отсутствие спина потенциал V(г, г') симметричен или антисимметричен — в зависимости от своего поведения при эрмитовском сопряжении и инверсии времени. Часто случается, что потенциал V обладает определенной «четностью» относительно каждого из этих преобразований в отдельности:
V+ = aHV; KVK^ = aTV; (4.3)
f = атаи. (4.4)
Таким образом, в отсутствие спина соответствующие правила отбора получаются с помощью равенства (3.8), в котором следует положить
а ==/(=аган). (4.5)
5. Спин
В силу антиунитарности оператора инверсии времени К мы имеем (векторы в абстрактном гильбертовом пространстве обозначаются через V9 а соответствующие им волновые функции уравнения Шредингера — через \|>)
itfv-OFk Wi,)-(JKW!» KO = (KVL ІЇК%)=ІЇЇЬ (5.1)
или _
V&-fVfb. (5.2)
С учетом (4.1) равенство (5.2) связывает амплитуды вероятности прямого и обратного переходов. Оно влечет за собой известные ограничения, только если в правой и левой частях его фигурируют одни и те же матричные элементы. Например, так обстоит дело, если
< = rt или KK=K2Vl1. (5.3)
В этом случае равенство (5.2) принимает вид
V&-fK*V!h. (5.4)
Следовательно, матрица V {Iv симметрична или антисимметрична по индексам p,v — в зависимости от знака величины //(2. По этой причине надо взять соответственно симметризованное произведение характеров, полагая
а « fK2. (5.5)
В более общем случае
Vl« QKVl; KVl - QK2Vl. (5.6)
ВЛИЯНИЕ ИНВЕРСИИ ВРЕМЕНИ HA ПРАВИЛА ОТБОРА
При этом соотношение между матричными элементами становится более сложным благодаря присутствию оператора Q; однако при рассмотрении влияния спина величина / по-прежнему заменяется на fK2 и формула (5.5) остается в силе.
Дополнительное вырождение, связанное с инверсией времени, возникает, если (/C^, 1^v) = O при всех MV. Правила отбора для этого случая можно получить, объявляя оператор V единичным и полагая / = 1 Надо лишь сосчитать, сколько раз N единичное представление содержится в %i х j' [R)a:
N^±(A + fK2B), (5.7)
A = ^W(RW, (5.8)
R
Я = у?х'(/?2). (5.9)
R
Выпишем значения А, В и N для представлений трёх типов:
К2 = 1 К2=-I
Тип представления Характеры ABN N
