Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
II. Если величинам 91, <2>, ... соответствуют операторы R, S то
величине 91-)-(r)-)- ... будет соответствовать оператор -(- 5 -(- . ..
(Одновременная измеримость величин 91, (r), ... при этом не предполагается.
Ср., что говорилось по этому поводу выше.)
А'., В'., "'), (3') и I., II. образуют математический базис нашего
анализа.
Пусть ср,, ср2, ...-полная ортонормированная система функций. Вместо
оператора R мы будем рассматривать матрицу а = (Ry^, cpv). Построим еще
следующие эрмитовы операторы, матрицы которых
рл| ( 0, в остальных случаях
!1, если р, = т, ч = п,
1, если р. = и, v = m, ,
О, в остальных случаях
2. Доказательство статистических формул
имеют вид
1, если (j, - \ = п,
I, если (j, = т, v - n, I, если - ') = т,
О, в остальных случаях
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СТАТИСТИЧЕСКИХ ФОРМУЛ
235
Эти операторы можно записать как Р[Ч у Л" ?",+ <?"] - ^\9т-9п 1 •
[ V'2 J L"7Tj Рг ?т+1?п "I - P\9m~l9 V Пусть им соответствуют величины
U(n\
[ V~2 J L У~2П \
2В(т,л). Очевидно (так как апт = атп), что
e^ = Se"X")+ 2 Recmn/^)-f 2
тп т <п
тп m < л
тл& р.*
и потому
ет = 2ялли(л,+ 2 Re amn!B(mn)-f- 2 Im а"
}(тл)
тп т < л
тп т < л
а значит, в силу II. и В'.,
Erw (91) = 2 °лл Erw (U(n)) -f- 2 Re атп Erw (ЯЗ(тл))Ч-
тп т <л
ч- 2 1татлЕш(28('лл)).
тп
т<п
Поэтому, если положим
ипп = Erw(U(n))-
то будем иметь
- Erw (В,Л!Л)) Ч- -L Erw (2В(тл)), ± Erw (В(тл)) - -L Erw (2В(тл))
Erw (91) = 2 "пт<1тп-
(т < л),
Так как ипт = итп, то можно определить эрмитов оператор U условием
((/<рт, ?л) = итл166), после чего в правой части окажется
166) То есть
U^m - 2 ил1ЛТЛ'
п
для чего, разумеется, необходима конечность 21 итп Is- В ней можно убе-
п
диться, например, так: Если 2i;cnls==^' т0 оператор R - Я[(р] имеет ма-
Л
трицу х^хч для 9 = 2 хпЧп и соответствующая этому оператору величина 91
Л
будет иметь математическое ожидание ^ атпхтхп ^ак как i ~
236
ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
[ГЛ. IV
Spur (UR) (ср. II. 11). Таким образом, окончательная формула гласит:
(Sp.) Erw (91) = Spur (UR),
где U - не зависящий от R эрмитов оператор 167), определяемый,
следовательно, лишь самим ансамблем.
В силу II. соотношение Sp. удовлетворяет условию В', при любом выборе
оператора U. Поэтому нам остается лишь установить, какие ограничения
накладываются на U условием А'..
Если ||ср|| = 1, но в остальных отношениях ср произвольно, то величина
соответствующая оператору ] будет благодаря
Р^] = P[<t\ и /. обладать свойством 912 = 91, так что согласно А'. будет
Erw (91)2^0. Таким образом, Spur (UP\V]) = (t/cp, ср)=^0. Если /
1 - Pj?| = (l - Р{<(])2' 10 это математическое ожидание будет 55 0,
^Erw(l) и, значит, - по крайней мере, для нормированных Erw (91), -5:0, ^
1. Если лгдг+1 = лгдг+2 = ... =0, то это означает, что М-мерная эрмитова
форма w _ w
2 и.тпхтхп ПРИ 2 \ хп\2 = ^ имеет значения S:0, ^1, т. е. собствен-т, п-1
п-1
ные значения матрицы р, v = l, ..., N будут 5:0, ^ 1. Поэтому длины N
векторов ут = ^ итпхп будут всегда S длин векторов п= I
-{i
ДЛЯ
тогда у = и -, так что
т тт
для тф т
N N N
2[l Хт I2 ^ S i У(tm) I'- | "тот |
т = I т = 1 т= 1 1
Поскольку это справедливо при любом N, то будет также V | и- |22=1
в 1
167) Все рассмотрение, строго говоря, обосновано лишь в том случае,
когда все функции ср,, ?2, ... принадлежат области определения оператора
R. Хотя, конечно, для любого R можно найти такую полную ортонормированную
систему if,, <fj, ... (ср. 11.11), но если R имеет смысл не везде, то эта
система будет зависеть от R. Собственно говоря, каждой полной
ортонормированной системе функций <f,, <f2, ... соответствует, таким
образом, свой, зависящий от нее оператор U такой, что равенство
Erw (й) = Spur (UR)
имеет место лишь для тех R, к области определения которых принадлежат
<f2, ...
Между тем все эти операторы U равны друг другу. Действительно, пусть U',
U" - два таких оператора. Тогда наше равенство будет справедливо для них
обоих, если только R везде имеет смысл. Иными словами, тогда Spur (U'R) =
Spur (U"R). Полагая R = P[!f]t найдем (U'<?, y)=(U"<f, <f), ((U' - U")
<f, <f) = 0. Так как это соотношение справедливо для всех <f с ||<f ||=1,
а тем самым и для всех элементов пространства Гильберта, то должно быть
также и U - U' = 0, т. е. U = U'.
2]
доказательство статистических формул
237
произвольно, то при условии /фО функция ср = цу|-- / будет допустимой, и
тогда (t/ср, ср)_ ({//, /), так что снова (Uf, /)|^0;
при условии же / = 0 это соотношение выполняется автоматически. Таким
образом, оператор U дефинитен. Но свойство дефинитности U, следующее, как
мы убедились, из А'., является и достаточным, чтобы А', было
справедливым.
Действительно, А', означает лишь, что всегда должно быть Erw(<$2)>0 и
ничего больше. Потому что, если величина 91 принимает лишь
неотрицательные значения, то для /(jc) = |jc| будет /(91) = 91, и так как
для g (х) = У\ х | тождественно выполняется (g (х) )2 = / (¦*)• то (g
(9t) )2 = / (91), 91 = Ф2, где @ = g (91)168).
