Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 96

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 145 >> Следующая

значит, соответствующие состояния (и операторы /,|<р1], Р[ъ]< • • •) -
полностью. Равным образом однозначно определяются и веса wlt w2, ...,
разумеется, если не принимать во внимание их порядок. Таким образом, в
этом случае можно однозначно указать, из каких (попарно ортогональных)
состояний построена смесь U. Существенно по-иному обстоит дело, если U
обладает также и кратными собственными значениями ("вырождения"). В II. 8
мы обсуждали подробно, как могут быть выбраны cplt ср2, ...: это можно
сделать бесконечно многими, существенно различными способами (тогда как
wlt w2, ... все еще могут быть определены однозначно). Следует выписать
те из wv w2, ..., которые отличны друг от друга: -w', w", .... для
каждого из них указать замкнутое линейное многообразие принадлежащих им
собственных функций (т. е. решений уравнения Uf - wf) Зйш', ЗКщ,", ... и
затем выбрать произвольным способом в каждом из TtW', TtW", ...
ортогональные системы Ху х2> • ••> х"> Ъг............. растягивающие
данные многообразия. Эти системы )(', х.у •••> X*1 fo- •••¦ •••
образуют тогда систему ср^ ср2 а соответствующие собственные
значения to', to', ...; tsrf', to", ...; ... являются тогда весами wv
to2, .. . Коль скоро какое-либо ЗК^, имеет больше чем одно измерение, т.
е. имеется кратное собственное значение, принадлежащее ему, Xi' У.2* ¦ •
• не определяются больше с точностью до постоянного множителя модуля 1
(например, в качестве Xi можно взять любой нормированный элемент 3W",),
т. е. соответствующие им состояния также многозначны!
Это явление можно сформулировать также следующим образом: если состояния
Xi> Ху • • • попарно ортогональны (т. е. Xv образуют ортонормированную
систему, безразлично - конечную или бесконечную) и мы их смешиваем таким
образом, что все они входят с одинаковыми весами (скажем, с
относительными весами 1:1:...), то получающаяся в результате смесь
зависит лишь от замкнутого линейного многообразия 3R, растягиваемого Х\<
• • • Действи-
тельно,
U = Р\гЛ Н~ Ль! + • • • =
Если число Х\< ••• конечно, скажем, равно s: Xi> ¦¦¦< то
оператор U можно представить себе как смесь всех нормированных элементов
3>i, т. е. всех состояний из 3U. Эти состояния имеют вид
x=*iXi+ ••• Kl2+ +I*J2==1-
246 ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. IV
В самом деле, положим х^ = -|- tvv ..., xs = us-\-lvs, через К
обозначим (2к - 1)-мерную поверхность сферы и\ + v\ -f- ... ... -|- и?-\-
v2s- \, соответствующей условию |лгх|2 -|*$|2 = и через do элемент
поверхности этой сферы. Положим еще
и'=//••• SSp"d°-
к
тогда
<(/'/. g) = ff ... //(Ля/. ?)* = //•••//(Лх)(гГх)*=
//-// /- 2 + Ч) х J g-. 2 К + Ч> Хц Ь*° =
/с V p.=i / V p.=i /
//•'•/ / S ^ X^CiTxT)^ -toll)(Mv + tov)?fo==
p., V=1
2 (/' Xp.) (S'- Xv) //•••// [("n",+VO +г' (мрТ\-И-Л.)]
Таким образом, поскольку все и^оч, и^-интегралы, а также все uv.ui¦
т'р.т',-интегралы обращаются в нуль при р Ф v из соображений симметрии
176), а при p = v все эти последние интегралы = = ?- (С > 0) 176),
находим
2s
iU'f, *) = -?2(/. Хр)(г.' *) =
11=1 11=1
176) Замена u^->- u,,. (или uv-> - uv и - v^) является операцией
симметрии поверхности К, в результате которой первые множители
подынтегральных выражений изменяют знак, так что соответствующие
интегралы равны 0. Замены -> -> и -> uv, uv -> и^ представляют
собой
такую операцию симметрии поверхности К, при которой последние интегралы
переходят друг в друга, ввиду чего они равны между собой, а значит, равны
~-й их суммы: //•••/ f(ul + v\+ ••• +"i+"'2)do= J/¦¦•ffdv=
К К
- площади поверхности /(, которую обозначим через С.
3]
ВЫВОДЫ ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
247
Это означает, что
5
Р=1
т. е. U', U отличаются друг от друга несущественным образом.
Эти обстоятельства имеют большое значение для характера
квантовомеханической статистики. Ввиду этого мы повторим их еще раз: /.
Если смесь состоит из взаимно ортогональных состояний с в точности
равными весами, то нельзя больше установить, какие это были состояния.
Иными словами, в результате смешивания в точно равных отношениях
различных (взаимно ортогональных) компонент можно получить одну и ту же
смесь.
2. Полученная таким образом смесь в случае конечного числа компонент
идентична смеси всех состояний, являющихся линейными комбинациями этих
компонент.
Вот простейший пример: если смешивать ср и <|> (ортогональные!)
1:1, то получится то же, что и если, например, смешать у-? и 1:1, или же
все лг<р -уф (1Л'12+ М2== !)• Если смешиваются
Г 2
неортогональные ср, ф (отношение может не быть 1 : 1), то их тем менее
можно идентифицировать по готовой смеси, поскольку эту смесь наверняка
можно представлять себе как смесь ортогональных состояний.
Дальнейшее углубление в природу смесей мы отложим до термодинамических
рассмотрений в V. 2 и далее.
Формула Sp. в IV. 2 указывала, как надо вычислять математическое ожидание
величины 5R с оператором R в смеси со статистическим оператором U: это
Spur (UR). Вероятность того, что значение а оператора R лежит в интервале
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed