Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
а' < а^==а" (а\ а" заданы, а' ^==а"), находится как в III. 1 или III. 5:
с помощью функции
строится величина /•'(5R), ее математическое ожидание и будет указанной
вероятностью. Если величине /•'(5R) соответствует (согласно /. в IV. 2)
оператор F(R) и если Е(к)- относящееся к R разложение единицы, то, как мы
неоднократно вычисляли, F(R) = E(a")- Е(а') и искомая вероятность w(a',
а") = Spur U (Е (а")-Е(а')). Поэтому функцией распределения, определяющей
статистику величины 5R, будет w (а) - Spur UE (а) [ср. IV. 1, прим.175)
на стр. 243; в случае состояний, т. е. когда U = P[9\, снова будет да(а)
= Spur/3[?]?(a) = = (Д(а))ер, ср)]. Естественно, что эти вероятности
будут лишь относительными, если оператор U нормирован неправильно.
1 для а' < х Зэ а",
F
О в остальных случаях
248
ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
[ГЛ. IV
На вопрос о том, когда величина 91 с оператором R с достоверностью
принимает значение X* в смеси со статистическим оператором U, можно
ответить непосредственно с помощью функции w(a): для а < X* должно быть
да(д) = 0, а для а^Х* w(a)= 1, или же, если U неправильно нормирован, =
Erw (1) - Spur U. То есть Spur UE(a) = 0, если а < X*, Spur U (1-Е(а)) =
0, если а >: X*
Но в случае дефинитных операторов А, В из Spur АВ = 0 вытекает что АВ - 0
(ср. И. 11), так что будем иметь UE(a) = 0, если а < X*, и UE(a) = U,
если или, что то же самое, поскольку в силу
эрмитовости произведения сомножители должны коммутировать,
Согласно проведенной в И. 8 дискуссии, это означает, что Rf = X*f, т. е.
RUg = X*Ug тождественно по g. Следовательно, последнее условие гласит: RU
= X*U. Если обозначить через Ш замкнутое линейное многообразие,
порожденное всеми решениями h уравнения Rh = X*h, то можно сказать также:
Uf всегда лежит в Ж.
Тот же результат, впрочем, можно было бы получить из условия обращения в
нуль дисперсии, т. е. обращения в нуль (возможно, относительного)
математического ожидания величины
Мы ответили в III. 3 на следующие вопросы (91, <2, ... - физические
величины, R, S, ...-их соответствующие операторы):
/. Когда 91 измеримо абсолютно точно? Ответ: Если R обладает чисто
дискретным спектром.
2.. Когда 91, абсолютно точно измеримы одновременно?
Ответ: Если R, S обладают чисто дискретными спектрами и перестановочны
между собой.
3. Когда несколько величин 91, S>, . .. абсолютно точно измеримы
одновременно? Ответ: Если R, S, ... обладают чисто дискретными спектрами
и все перестановочны.
4. Когда несколько величин 91, <2>, .. . измеримы с произвольной
точностью одновременно? Ответ: Если R, S, ... все перестановочны.
177) Если Spur U бесконечен, то последняя формула, полученная с помощью
вычитания, может показаться сомнительной. Тем не менее ее можно
обосновать также следующим образом: то, что величина 91 имеет значение
X*, означает, что w(a', а") = 0, т. е. Spur U (? (а") - Е(а')) = 0, если
а" < X* или а' Так как этот шпур всегда ^0 и так как он не убывает с
а"
и не возрастает с а', то при а" < X* достаточно рассмотреть его lim ,
а при а' |? X* - его lim , т. е. Spur UE (а") = 0, если а" < X*,
E(a)U - 0 или же = U, т. е. если/ = Ug, тоЕ(а)/
а" +оо
Spur U (1 - Е (а') ) = 0 при а' ^ X*.
3]
ВЫВОДЫ ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
249
При этом мы использовали следующий принцип, абстрагированный из
результата эксперимента Комптона - Симонса:
(М.) Если физическая величина К дважды измеряется на системе S, причем
измерения следуют непосредственно одно за другим, то в обоих случаях
получается одно и то же значение. Эго будет справедливо даже в том
случае, когда в исходном состоянии системы 5 К обладала дисперсией, так
что 91-измерение, помимо всего прочего, могло изменить состояние системы
S.
Физический смысл М. мы уже обсудили подробно в III. 3. Дальнейшими
предположениями для ответов 1,-4. были: статистическая формула Ег. из
III. 3 для состояний; допущение F. из III. 3, в силу которого величине
Д(91) соответствует оператор F (R), если только величине 91 соответствует
оператор R; допущение, согласно которому величине 91соответствует
оператор R-\-S, если (одновременно измеримым) величинам 91, <2>
соответствуют операторы R, S.
Так как эти три предположения по-прежнему осуществляются (первое вытекает
из формулы Sp. в IV. 2, а два других соответствуют /., II. в IV. 2) и так
как М. также должно считаться верным,- поскольку мы считаем его
необходимым для принципиального построения квантовой механики,-то здесь
также останутся в силе приведенные в III. 3 доказательства I.-4.. Таким
образом, указанные ответы снова оказываются правильными.
В III. 5 мы исследовали такие физические величины, которые принимают лишь
два значения: 0 и 1. Они взаимно однозначно соответствуют альтернативным
свойствам @. Действительно, если бы было задано @, то соответствующую
величину можно было бы определить так: эта величина будет измерена, если
мы сможем рассудить (см. прим. перев. на стр. 187), имеет @ место или
нет; ее значениями будут соответственно 1 и 0. Наоборот, если была задана
