Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
дисперсией однородных ансамблей, которые мы должны представлять себе
состоящими из причинно определенных, тождественных между собой отдельных
объектов. Несмотря на это, можно было бы попытаться поддержать фиктивное
представление о том, что всякий ансамбль с дисперсией можно разбить на
две (или больше) отличные друг от друга и от всего ансамбля части; и даже
без изменения его элементов, т. е. так, что смешивание обоих ансамблей
разбиения снова давало бы исходный ансамбль. Как видим, попытка
интерпретировать причинность как определение тождественности приводит
ввиду этого к реальному вопросу, на который можно и должно ответить,
возможно в отрицательном смысле. Именно: возможно ли на самом деле
получить всякий ансамбль
[5[, ..., 5дг], в котором имеется величина 91 с дисперсией, в виде смеси
двух (или большего числа) ансамблей, отличных друг от друга, а также
от заданного ансамбля? (Случай, когда число ансамблей
больше двух, скажем, п - 3, 4, ... приводится к случаю п = 2,
если рассматривать первый из ансамблей и смесь п - 1 остальных.)
Если бы, скажем, [5], .... 5дг] был смесью двух ансамблей [5;......5р]
и [si'....
•Sq], то вероятностную функцию wм (а)
любой величины 91 (см. прим. 157) на стр. 223) можно было бы выразить
через вероятностные функции (а) последних двух
ансамблей:
(AV) = +а>0' Р > а + Р = 1-
Р О
Здесь 1 = -^и (N = P-\-Q) не зависят от 91. Итак, в ко-
нечном счете мы наталкиваемся на математический вопрос: пусть в каком-
нибудь ансамбле имеется величина 91, обладающая дисперсией
162) Посмотрим, например, что получится, если за $Ц, (2> взять не
измеримые одновременно (из-за соотношений неопределенности) величины q
(декартову координату) и р (импульс). Если в каком-нибудь ансамбле
дисперсия q очень мала, то р-измерение с точностью (т. е. с дисперсией) г
приводит к дисперсии в q, по мецьщей мере равной (ср. III. 4), т. е. все
разрушает.
1] ПРИНЦИПИАЛЬНОЕ ОБОСНОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 229
с вероятностной функцией (r)я(а) (относительно соответствующего свойства
функции см. прим. 16°) на стр. 225), существуют ли
тогда два других ансамбля с вероятностными функциями соответственно
такие, что утверждение М\. имеет место для всех 91?
Этот же вопрос можно сформулировать еще несколько иначе, если
характеризовать ансамбль не вероятностными функциями wn(a) величин 91, а
математическими ожиданиями
+ СО
Erw (91)== J adwn{a).
- СО
Наш вопрос звучит тогда так: В ансамбле нет дисперсии, если в нем для
каждой величины 91 математическое ожидание
Erw ([91 - Erw (9t)]2) = Erw (9t2) - [Erw (9t)]2
равно нулю (ср. прим. 160) на стр. 225), т. е. если
(Stru) Erw (9t2) = [Erw (9t)]2.
Всегда ли возможно в том случае, когда это не так, найти два других
ансамбля с Erw'(91), Erw" (91)
(Erw (91) ф Erw' (91) ф Erw" (91))
такие, чтобы выполнялось условие
(М2.) Erw (91) = a Erw' (91) -f- (3 Erw" (91), а > 0, р > О,
а + р=1,
где а, р не зависят от 91? (Заметим, что в случае единственной заданной
величины 91 число Erw (91) не может быть заменителем функции wn(ay,
напротив, знание всех Erw(91) эквивалентно знанию всех ww (а).
Действительно, если fa(x) определить равенством
1 для х а,
то будем иметь w& (а) = Erw (fa (91)).)
/"(*) =
О для х > а,
При математическом рассмотрении этого вопроса целесообразнее иметь дело
не с ансамблями [Sj . .... SN], а с соответствующими ожиданиями Erw (91).
Каждому ансамблю соответствует такая функция, которая определена в 5 для
всех физических величин 91 и имеет значениями вещественные числа и
которая, наоборот, полностью характеризует все статистические свойства
ансамбля. (Ср. сказанное выше о связи между Erw (91) и та>"ц(я).)
Конечно, еще надо установить, какими свойствами должна обладать функция
от 91, чтобы она представляла собой Erw (91), по некоторому надлежащим
образом выбран-.
230
ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
[ГЛ. IV
ному ансамблю. Но как только это будет выполнено, мы можем дать
определение:
а) Функция от 91, являющаяся математическим ожиданием Erw (91),
называется бездисперсной, если она удовлетворяет условию Str\..
Р) Функция от 91, являющаяся математическим ожиданием Erw (91),
называется однородной или чистой, если для нее из М2. следует, что
Erw (91) ==г Erw (91') = Erw (91")-
То, что всякая бездисперсная функция Erw(91) является чистой, ясно просто
по смыслу и вскоре будет доказано. Наш же вопрос звучит так: является ли
любая чистая функция Erw(91) бездисперсной?
Ясно, что любая функция Erw (91) должна обладать следующими свойствами:
A. Если величина 91 тождественно равна 1 (т. е. если правилом ее
измерения является: ничего не надо измерять, так как 91 всегда имеет
значение 1), то Erw(9l)=l.
B. Для любой величины 91 и для любого вещественного числа а имеет место
равенство Erw (a9l) = a Erw (91)163).
C. Если по своему смыслу величина 91 никогда не бывает отрицательной,
если она, например, является квадратом 163) некоторой другой величины то
и Erw (9l)|g0.
