Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
(Uf0, /0) > 0 (ср. II. 5, теорема 19.). Построим два эрмитовых оператора
vf=Wm-ul° v>=u>--mffh-u>-
тогда
(tm) л=1шг$-^0'
f) = (Uf. f) (Uf* /о)-к/. Ufa)? ^ 0 (Uf о, /о)
(ср. II. 5, теорема 19.), т. е. операторы V, W дефинитны, причем,
очевидно, U = V-\-W. Поэтому V=c'U, и так как У/0=и/0фО,
то с'=1, т. е. U = V. Пусть теперь ср==.(//0(IIср|| - 1) и
[I О/о II
С = (с > 0), тогда Uf = Vf = c (/, ср) ср = cPMf, т. е. U = cPw
и, согласно 1., U в существенном совпадает с Р^у
Пусть теперь, обратно, U = Ящ (||ср|| = 1). Если U - V-\-W, где V, W -
дефинитные операторы, то аргументация ведется следующим образом. Из Uf =
0 следует, что
о ^ (Vf, f) ^ (Vf, f) + (Wf, /) = (Uf, f) = 0, (Vf, f) = 0
и, значит, Vf = 0 (ср. выше). Ho из (/, cp) = 0 следует, что Uf = P[tf]f
- 0, а тем самым и Vf = 0. Поэтому, каково бы ни было g, всегда (/, Vg) =
(Vf, g)-Q. Таким образом, всё, что ортогонально к ср, ортогонально также
и к Vg, ввиду чего Vg = cg - у (cg-число, зависящее от g), но нам нужен
лишь случай g = ср, т. е. Vcp = c' • ср. Любой элемент / имеет вид (/,
ср) • ср -ф-/', где f ортогонален к ср, так что
Vf = (/, ср) ¦ l/cp + Vf = (/, ср) ¦ с'ср = c'PMf = c'Uf.
171) Из-за условия 2. следовало бы, собственно говоря, потребовать,
чтобы Уф 0, W Ф 0. Случаи же V = 0 или W = 0 здесь содержатся, если
положить с'=0, с" = 1 или с' = 1, с" = 0.
240
ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
[ГЛ. IV
Поэтому V = c'U, W = (J - V == (1 - с') U, чем и завершается
доказательство.
Однородные ансамбли соответствуют, таким образом, операторам U = Р[9\,
||<р|| = 1> причем соотношение Sp. переходит в формулу Е2. из III. 1:
(Е2.) Erw (91) = Spur (P[V]R) - (/?ср, ср).
Заметим, что Erw (1) = Spur (Рад) = 1 (ввиду того, что Р^]
соответ-
ствует одномерному [ср], или же согласно Е2.), т. е. рассматриваемая
форма оператора U правильно нормирована. Выясним еще, наконец, при каких
условиях Р\9] и Рщ обладают одной и той же статистикой, т. е. при каких
условиях Р^ = сРщ (с > 0 - константа, ср. /.). Так как Spur (Р1?|) = Spur
(Р[ф]), то с = 1, так что Р[9] = Р|ф], [ср] = [ф], и ср = аф, а из ||ср||
= ||ф|| = 1 следует для константы а, что \а\ = 1;
очевидно, это условие также достаточно.
Резюмируя, можно сказать: ансамблей без дисперсии не существует.
Однородные же ансамбли существуют, причем они соответствуют операторам U
= P[9], ||ср]| = 1 и только этим операторам. Для таких U соотношение Sp.
переходит в е2. ; нормировка в этом случае правильна, и U не изменяется
при замене ср на аср (а - константа, |а| = 1), при любом же другом
изменении ср оператор U изменяется существенным образом (см. /.). Таким
образом, однородные ансамбли соответствуют состояниям квантовой механики,
как эти последние были охарактеризованы выше: с помощью элементов ср
гильбертова пространства с ||ср|| = 1, причем постоянный множитель
абсолютной величины 1 не играл роли (ср., например, III. 2), а
статистические утверждения выводились из Ё2. т).
Все это мы вывели из чисто качественных условий А!., В'., а),
р), /., //..
Таким образом, в рамках наших условий мы пришли к решению, и притом
направленному против причинности: в самом деле, все ансамбли обладают
дисперсией, даже и однородные.
Остается еще обсудить поднятый в III. 2 вопрос о "скрытых параметрах", т.
е. вопрос о том, не вызвана ли дисперсия однородных ансамблей,
описываемых волновыми функциями ср (т. е. соотношением Е2.) тем, что эти
ансамбли не являются истинными состояниями, но лишь смесями многих
состояний, в то время как для описания истинных состояний, помимо задания
волновой функции ср,
172) Дедукция двух последних параграфов, приводящая к однородным
ансамблям, была указана автором Gott. Nachr., 1927. Существование
однородных ансамблей, а также их связь с общими ансамблями были
обнаружены независимо Н. Weyl'eM, Z. Physik 46 (1927) и автором в
указанной выше работе. Один частный случай более общих ансамблей (а
именно, случай двух связанных систем, ср. дискуссию в VI. 2) был
рассмотрен ранее Ландау, Z. Physik 45 (1927).
2] доказательство статистических формул 241
было бы необходимо задать еще и другие характеристики (они и являются
"скрытыми параметрами"), которые все вместе описывают всё причинным
образом, т. е. приводят к ансамблям без дисперсии. Статистика однородного
ансамбля (U - P^y ||ср|| = 1) возникала бы тогда в результате усреднения
по всем настоящим состояниям, из которых состоит ансамбль; иными словами,
в результате усреднения по той области значений "скрытых параметров",
которая реализуется в этих состояниях. Но это невозможно по двум
причинам: Во-первых, потому, что тогда рассматриваемый однородный
ансамбль можно было бы представить в виде смеси двух различных
ансамблейпз), вопреки его определению. Во-вторых, потому, что ансамблей
без дисперсии, которые должны были бы соответствовать "истинным"
состояниям (т. е. которые состояли бы исключительно из систем,
находящихся в одном и том же "истинном" состоянии), вообще не существует.
