Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
D. Если величины 91, @, . . . одновременно измеримы, то должно быть Erw
(91 -f- <& -f- . ..) = Erw (91) -f- Erw (<$) -f- ...№). (Для
неодновременно измеримых величин 91, Э>, ... величина 9l-f-S>-f- ... не
определена, ср. выше.)
Все это непосредственно вытекает из определений рассматриваемых величин
(т. е. из предписаний для их измерения), а также из определения
математического ожидания как арифметического среднего всех результатов
измерений по достаточно большому статистическому ансамблю. В отношении D.
следует заметить, что его справедливость основана на той теореме из
теории вероятностей, согласно которой математическое ожидание суммы
всегда равно сумме математических ожиданий отдельных слагаемых,
независимо от того, существует между ними вероятностная зависимость или
нет (в противоположность, например, математическому ожиданию
произведения). Естественно, что мы сформулировали D. лишь для
одновременно измеримых величин 91, Э>, ..., - ведь в противном случае
величина ... не имеет
смысла.
Но в квантовой механике имеется еще одна, выходящая за пределы
обсуждавшихся до сих пор, вычислительная операция: именно,
1вз) Выражения а91. 2>2, 91-ЬЗ"-!- ••• означают: величины (R, ...
подставляются, в смысле данного выше общего определения, вместо х, у, ...
в функции / (х) = ах, f(x) - x2, / (х, у, ...) = х -f у -f ...
соответственно.
1] ПРИНЦИПИАЛЬНОЕ ОБОСНОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 231
сложение двух произвольных, не обязательно одновременно неизмеримых,
величин. Эта операция основывается на том, что сумма R-{-S двух эрмитовых
операторов R и S опять является эрмитовым оператором, даже и тогда, когда
R и S неперестановочны, в то время как произведение RS, например,
оказывается эрмитовым лишь в случае коммутативности (ср. II. 5).
Математические ожидания по любому состоянию ср складываются: (/?ср, tp)-
f-(Scp, ср) = ((R -j- S) ср, ср). (Ср. ?2. из III. 1). То же справедливо
и для многих слагаемых. Мы отметим этот факт в нашем общем, пока еще не
специализированном на случай квантовой механики, подходе:
Е. Пусть 91, ... - произвольные величины, тогда суще-
ствует новая величина 9t-f-(r) + ... (не зависящая от выбора функции Erw
(91)) такая, что
Erw(9t-f-(r)+ .. .) = Erw (91) + Erw ((r)) + ...
Если 91, <2>, ... одновременно измеримы, то эта 91-|-<2>. должна,
согласно D., быть обычной суммой. В общем же случае эта величина лишь
неявно определяется утверждением Е., и мы едва ли можем из измерительных
предписаний для 91, <$, ... составить измерительное предписание для 9t-f-
(r)+ ••• 164)-
К сказанному выше добавим еще: мы хотим ввести в рассмотрение не только
функции Erw (91), представляющие собой математические ожидания, но также
и такие функции, которые выражают собой относительные математические
ожидания, т. е. мы опускаем условие нормировки А.. Если Erw(l) (что,
согласно С., ^0) конечно и ^=0,
Erw (91)
то это несущественно, так как для grw все остается по-старому.
Случай Erw (1) = со соответствует, однако, существенно отличной
возможности, ради которой мы и делаем это обобщение. Ее можно
164) Так, например, в гейзенберговой теории оператор энергии электрона,
движущегося в потенциальном силовом поле V (х, у, г),
н0 = (jP*)2 + ^yJ2 + (/>г)2 + У (Q* Qy• Qz)
(ср., например, III. 6) является суммой двух неперестановочных операторов
(рх\г _L (ру\2 _L (рг\2
R = -- ^ -- и S = V (Qx, Qy, Qz). Тогда как измерение вели-
чины 91. соответствующей оператору R, является измерением импульса, а
измерение величины соответствующей оператору S, - измерением координаты,
величина 9t + (r)> соответствующая оператору H0 = #-f-S, измеряется
совершенно по-иному: например, с помощью измерения частоты спектральных
линий, испускаемых этим (связанным) электроном, поскольку эти частоты
определяют (на основании условия частот Бора) энергетические уровни, т.
е. значения величины 91 +$¦ Тем не менее при любых обстоятельствах
Erw (9t + <g) = Erw (91) + Erw ((r)).
232
ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
[ГЛ. IV
лучше всего проиллюстрировать на одном простом примере. Именно,
существуют случаи, когда лучше оперировать с относительными
вероятностями, а не с истинными, в особенности с бесконечной полной
относительной вероятностью (выражение Erw(l) представляет ведь собой
полную вероятность); подобным случаем является, например, следующий.
Пусть рассматриваемой системой будет частица, движущаяся в одном
измерении, и пусть ее статистическое распределение будет таким, что она
находится с равной вероятностью всюду на бесконечной прямой. Тогда
вероятность любого конечного интервала этой прямой будет равна нулю, но
равновероятность всех положений на этой прямой выражается не этим
обстоятельством, а тем, что отношение вероятностей двух конечных
интервалов равно отношению -г О
их длин. Так как -д- не имеет смысла, то это можно понять, лишь
приписав длинам смысл относительных вероятностей, но тогда полная
относительная вероятность будет равна, конечно, оо.
