Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
одном и том же ансамбле 0дг]
можно получить с произвольно большой точностью, если только N достаточно
велико.
Именно, в случае ансамбля, состоящего из N элементов, достаточно собрать
статистические показания о распределении значений величины 9t не со всех
N элементов Sv .... SN, а лишь с некоторой подсистемы из М
(s§Af) элементов, скажем [Sj, ..., 5Л],
если только М, N оба велики, причем М можно сделать совсем
малым по сравнению с Af158). Тогда при измерении будет вообще
М
подвергнута изменению лишь -дг-я часть ансамбля, т. е. сколь угодно
малая, если ~ выбрано достаточно малым, что при достаточно большом N
возможно даже для больших М, - в соответствии с утверждением I. Чтобы
измерить одновременно две (или больше) величины 9t, 0, нам потребуются
две подсистемы, скажем [Sj, .... 5^] (2Ms?Af), так чтобы первая была
применена для снимка статистики 9t, а вторая - для 0. Тогда оба измерения
не помешают одно другому, - хотя они и производятся на одном и том же
ансамбле [Sj, ..., 5^], - и даже изменят ансамбль лишь
2 М
на произвольно малую величину, если достаточно мало, что
возможно и для очень больших М, если только N достаточно
велико, в соответствии с утверждением 2.
Д = я0, а->а0 % (д) -> (д0); при д' a" w^ (д') Sg w^ (а"). (В
квантовой
механике (д) = || Е (а) <р ||2 = (? (д) <р, ч>), где Е (К) означает
разложение единицы, относящееся к R.)
Если Жл (а) дифференцируема, то вместо нее можно ввести хорошо
d
известную "плотность вероятности" (r)л(я); если же wn(a) в точке д=д0
разрывна (естественно, слева), то точка д = д0 обладает "дискретной
вероятностью" (r)л(д0) - (r)л(д0 -0). Исходным же понятием (r)я(д) можно
пользоваться всегда; ср. ссылку в прим. 156) на стр. 223.
158) Это вытекает из так называемого закона больших чисел, теоремы
Бернулли.
1] ПРИНЦИПИАЛЬНОЕ ОБОСНОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 225
Как видим, привлечение статистических ансамблей, т. е.
теоретиковероятностных методов, обусловлено возможностью того, что
измерение окажет влияние на одну отдельную систему, и возможностью
неодновременной измеримости нескольких величин. Общая теория должна
учитывать эти обстоятельства, появление которых для элементарных
процессов всегда подозревалось15Э), а сегодня, как показывает подробное
обсуждение положения вещей (ср. III. 4), стало несомненным.
Статистические ансамбли опять устраняют эти трудности и делают тем самым
снова возможным объективное описание (описание, которое не зависит от
случая, равно как от того, измеряется ли в данном состоянии та или другая
из двух неодновременно измеримых величин).
Для таких ансамблей не удивительно, что физическая величина 91 не имеет
точно определенного значения, т. е. что распределение ее значений не
состоит из единственного значения я0160), но допускает многие значения
или интервалы значений, так что дисперсия положительна 160). Все же для
такого поведения мыслимы два различных основания:
/. Отдельные системы Sv .... SN нашего ансамбля могут
находиться в различных состояниях, так что ансамбль [Sj SN]
определяется их относительными частотами. То, что мы не получаем здесь
точно определенных значений для физических величин, обусловлено нашим
незнанием: ведь мы же не знаем, в каком состоянии мы измеряем, а потому и
не можем сказать, что при этом получится.
159) Так, например, главной трудностью в определении электрического поля
считалось то, что необходимое для этого "пробное тело" не может быть
меньше электрона.
160) Точно определенное значение соответствует функции распределения
a>0j(a) вида
f 1 для
^(й) = [0 для *<*
В этом и только в этом случае дисперсия е2 равна нулю. Обычно же среднее
значение р и дисперсия е2 вычисляются следующим образом (интегралы
Стильтьеса!):
- ОО
s2= J (а - р)2й!а>эт(л)= J a2 dwm(a) - 2р J a dwm (a) -j- р2 =
- ОО -ОО -ОО
- ОО
- ОО
j' a2dw,x(a) - р2 = a2dw>:si(a)- adw^(a)
2
(ср. III. 4, прим. 13°) на стр. 173).
15 И. Нейман
226
ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
[ГЛ. IV
II. Все отдельные системы 5, SN находятся в одном
и том же состоянии, но законы природы не каузальны. Тогда причиной
дисперсий будет уже не наше незнание, а сама природа, которая не
считается с "принципом достаточного основания".
Случай I. общеизвестен, важным же и новым является, напротив, случай II..
Конечно, сначала мы будем относиться скептически к возможности его
осуществления, но затем найдем объективный критерий, который позволит
отличать случаи, когда он имеет место, от случаев, когда его нет. На
первый взгляд кажется, что существуют серьезные возражения против
возможности понять его и придать ему точный смысл. Мы полагаем, что эти
возражения не имеют основания и что случай II. является единственным
выходом из известных трудностей (например, в квантовой механике).
Перейдем поэтому к обсуждению принципиальных трудностей случая II..
Против II. можно возразить, что природа вообще не может нарушить "принцип
достаточного основания", т. е. причинность, так как здесь скорее идет
