Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
Если величине @ соответствует оператор S, то должно быть также Spur
({/52)^ 0. Так как оператор S2 дефинитен
((S2/, /) = (5/, 5/)> 0),
то, написав А, В вместо U, S2, видим, что речь идет о доказательстве
теоремы: если операторы А и В эрмитовы и дефинитны, то имеет место
соотношение Spur(HS)>0. Но она была доказана в II. 11 с помощью общей
теоремы о дефинитных операторах (ср. прим. ш) на стр. 140)16Э).
16В) Непосредственная подстановка @ = У 91, т. е. 12>=А (91). h(x) = V х,
не проходит, так как мы рассматриваем лишь вещественно-значные функции,
определенные для всех вещественных х, а функция У х не является таковой,
поскольку для отрицательных х она мнима.
ш) Удается провести простое непосредственное доказательство. Пусть 9i,
<р2, ... - полная ортонормированная система функций, a"v = (Л<р", <pv),
N
= (By<Р"). Spur (АВ) = ^ fl|i A|i- Он > 0, если все ^ =? 0. Пусть
[IV IX, v=l
N N _ N _
/ = S тогда (Af' ft = 2 ^ °' W' /) = 2 bv-ixvx-> ^ °>
[1 = 1 [1, v=l [1, v=l
так что конечные матрицы (р, -v - 1 N) также дефинитны. Как
N
свойство дефинитности, так и величина суммы ^ являются инва-
Н-" v= 1
риантами ортогональных преобразований в ./V-мерном пространстве. Так как
матрица b^ эрмитова, то (в /V-мерном пространстве!) ее можно привести с
помощью ортогонального преобразования к диагональному виду. Поэтому ее
можно считать диагональной, т. е. , = 0 при р ф ч. Таким образом, N N
2 fl|iA|i=2 SAii- Но> в силУ Дефинитности, > 0, Ь1Щ & 0
[Ji, v = l [1=1
/ ( = 1 при -V = р, | \
полагаем х, { ), и значит, наша сумма деистви-
V (. = 0 при v^p I /
тельно 5;0.
238
ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
[ГЛ. IV
Тем самым мы полностью задали функции Erw (91): они соответствуют
дефинитным эрмитовым операторам U, причем связь между ними дается
соотношением Sp.. Оператор U будем называть статистическим оператором
рассматриваемого ансамбля.
Вернемся теперь еще раз к замечаниям /., 2., 3. из IV.I. Они будут
утверждать:
1. С точки зрения относительных вероятностей и математических ожиданий
операторы U и cU не различаются между собой существенно (с > 0 -
константа).
2. 17 = 0 не приводит ни к каким утверждениям, а потому должно быть
исключено.
3. Абсолютные (т. е. правильно нормированные) вероятности и
математические ожидания получаются в случае, когда Spur U=l. Коль скоро
Spurt/ конечен, оператор U можно .нормировать,
согласно , умножив его на с - -gpU~^ • (В силу дефинит-
ности U, имеем Spur U =5 0, причем даже Spur U > 0, так как из Spurt/=z0
вытекает, как было показано в общем виде в конце IV. 1, но в нашем случае
получается также из II. 11, что t/= 0, т. е. случай, исключенный согласно
2,.) Только для бесконечного Spur U мы сталкиваемся с существенно
относительными вероятностями и математическими ожиданиями.
Наконец, надо еще исследовать а), (3) из IV. 1, т. е. найти среди
операторов U те, которые отвечают бездисперсным и однородным ансамблям.
Сначала бездисперсность. В этом случае U можно считать правильно
нормированным (ср. IV. 1), причем должно выполняться требование Erw (9i2)
= [Erw (91)]2, т. e. Spur (UR2) - [Spur (UR)]2. Положив /? = Р|Т], имеем
R2 = R = P[T], Spur (t/P^j) = (t/cp, ср), так что должно быть (t/cp, cp)
= (t/cp, ср)2, т. е. (t/cp, ср) = 0 или 1. Пусть ||ср'|| = 1, JIср"|| =
1, тогда функцию ср можно изменять непрерывным образом так, что она
начинается с ср' и в конце равна ср", причем все время ||ср|| = 1 170).
При этом (t/cp, ср) тоже изменяется непрерывно, и так как это выражение
равно или 0 или 1, то оно постоянно. Таким образом (t/cp', ср') = (t/cp",
ср"). Это означает, что (t/cp, ср) всегда равно либо 0, либо 1, откуда
сейчас же получаем U = 0 или t/=l. Случай U = 0 исключен согласно 2., а
случай U = 1 ненормируем
170) Для ср' = ср" это очевидно. Пусть поэтому ср' ф ср". "Ортогонализа-
ция" функций ср', ср" (ср. II. 2) приводит к некоторой функции ср, с
||ср,|| = 1, которая ортогональна к ср', так что ср" является линейной
комбинацией ср', ср,. Итак, ср" = дер' -(- йер,, || ср" || 2 = | а |2 _j_
11) |2 _ i_ Пусть, скажем, | а \ = cos 0, I b | = sin 0, так что а = eia
cos О, b - е^ sin 0. Тогда aSx^ = eiXa cos л:0, b(x> =eix^s\nx& также
удовлетворяют условию \aSx'> |2+| b(-х> |2 = 1. Положив ср**) = а<Х)ч>' -
|- Ь(Х)ч>1, будем иметь |[<р(*) || = 1. При этом cp**J непрерывно
изменяется от ср' (х = 0) до ср"(л:=1).
2] доказательство статистических формул 239
(Spur(/ = числу измерений пространства = со) и, как легко видеть
непосредственно, не бездисперсен. Таким образом, не существует ансамблей
без дисперсии.
Перейдем теперь к однородным ансамблям. Согласно (3) и S. оператор U
будет чистым, если из
U = V-{-W
(V, W-дефинитные эрмитовы операторы, как и U) следует, что V = c'U, W =
c"Um). Мы утверждаем, что это свойство имеет место тогда и только тогда,
когда t/ = P[?](||cp|j = 1).
Предположим сначала, что U обладает указанным свойством. Так как U фО, то
существует /0, для которого и/0фО, а значит, /0Ф 0 и, следовательно,
