Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
состояний в смысле ее статистических свойств:
р' = Spur (UR).
Заметив, что наряду с состояниями нам придется иметь дело также и с этими
смесями, перейдем к более общему исследованию.
Забудем всю квантовую механику и будем держаться только следующих
положений. Предположим, что дана система S155), которая для
экспериментатора характеризуется заданием всех эффективно
155) Важно подчеркнуть разницу между понятиями просто системы и системы
в некотором состоянии. Система, например, водородный атом, т. е. электрон
и протон с известными действующими между ними силами, формально будет
описана, если указать, что конфигурационное пространство имеет
шесть измерений, что координаты - это qx q6, импульсы - рх р6,
а функция Гамильтона равна
Н( , р\ + р\ + р\ | р\ + Рб + Рб ,
n(qi ... q6Pt ... р6) = ' '
2те ~ 2 тр
е
/(?i - 9Ч)2 + (?2 - qs)2 + (?3 - ЯеУ
Состояние же фиксируется лищь при указании дальнейших данных: в
классической механике с помощью задания численных значений ..........
Я%>р\ р\
координат и импульсов qt q6, рх р6, а в квантовой механике -
с помощью волновой функции ^ • • • <7б)- В большем числе данных, чем
эти, никогда не возникает потребности: если известны система + состояние,
то теория дает однозначную вычислительную процедуру для ответа на любой
вопрос.
1] ПРИНЦИПИАЛЬНОЕ ОБОСНОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 223
измеримых в ней величин и их взаимных функциональных зависимостей. Под
величиной подразумевается, собственно, наставление, как ее измерять, т.
е. как найти или же вычислить ее значение из расположения стрелок
измерительных приборов. Если 91- какая-нибудь величина, а / (х) -
произвольная функция, тогда величину /(91) следует определять так: чтобы
измерить /(91), измерь 91, найди при этом (для ") значение а, тогда
значением /(91) будет / (а). Как видим, все величины /(91) (9!
фиксировано, / (х) - произвольная функция) измеримы одновременно одна с
другой, а также с величиной 91: это первый пример одновременно измеримых
величин. Вообще же, назовем две (или больше) величины 91, <2 одновременно
измеримыми, если существует установка, которая измеряет одновременно обе
величины в одной и той же системе, - при этом, конечно, их
соответственные значения вычисляются по-разному из показаний приборов. (В
классической механике, как известно, все величины одновременно измеримы,
а в квантовой механике, как мы видели в III. 3, это не так.) Для таких
величин и какой-нибудь функции двух переменных f(x, у) можно определить и
величину /(91, <2>): она будет измерена, если одновременно измерить 91,
@, и если для них будут найдены значения а, Ь, то значением /(91, @)
будет f (а, Ь). Надо, однако, ясно представлять себе, что совершенно
бессмысленно желать построить / (91, @), когда 91, @ не измеримы
одновременно: ведь тогда невозможно указать надлежащую измерительную
процедуру.
Но исследование физических величин на одном-единственном объекте 5 не
является единственным, что мы можем делать - особенно тогда, когда
возникает сомнение относительно одновременной измеримости различных
величин. В таких случаях можно рассматривать н большие статистические
ансамбли, состоящие из многих систем
S; SN (т. е. из N экземпляров системы S, N велико)156). В таком
ансамбле [5Р ..., 5^] измеряется, естественно, не "значение" некоторой
величины 91, но распределение ее значений, т. е. для каждого интервала
а'<^а^а" (аа" заданы, а'^а") число тех из систем Sj Sjv, для которых
значение 91 лежит внутри него. N-я
часть этого числа является функцией распределения w(a', а") - = w(a") -
да (а')157). Большое преимущество рассмотрения таких ансамблей состоит в
следующем:
|56) Такие ансамбли, называемые коллективами, вообще необходимы, чтобы
можно было обосновать теорию вероятностей как науку о частотностях. Они
были введены R. v. Mises'oM, который осознал их значение для теории
вероятностей и осуществил их надлежащее построение (ср., например, его
книгу: Wahrscheinlichkeit, Statistik und ihre Wahrheit, Berlin, 1928).
I57) w (ar) является вероятностью того, что айн', т. е. относится к
интервалу -оо, а'. Как видно, функция w (а) или же, как мы будем ее
называть, чтобы подчеркнуть ее зависимость от 9t> и",л (а) обладает
следующими свойствами: При а-> - оо дая(а)->0; при а->-)-со а\л (а) -> 1;
при
224
ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
(ГЛ IV
1. Даже в том случае, когда измерение какой-нибудь величины 9t сильно
изменило бы измеряемую систему S (в квантовой механике дело обстоит
именно так, и в III. 4 мы видели, что в физике элементарных процессов это
принципиально должно быть так, ибо воздействие измерения имеет тот Hie
порядок величины, что и система или же ее наблюдаемая часть),
статистический снимок распределения вероятности величины 9t в ансамбле №
sN] изменится при таком измерении сколь
угодно мало, если только N достаточно велико.
2. Даже если две (или больше) величины 91, (r) не являются одновременно
измеримыми в единственной системе 0, их распределения вероятностей в
