Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
недостает гайзенбергова выражения для вероятности перехода из одного
стационарного состояния квантованной системы в другое, хотя как раз оно
сыграло важную роль в создании квантовой механики (ср. сказанное по этому
поводу в I. 2). Следуя методу Dirac'a138), мы покажем теперь, каким
образом могут быть выведены эти вероятности переходов из обычных
статистических утверждений квантовой механики, т. е. из только что
изложенной теории. Это тем более важно, что такой вывод позволит нам
глубже заглянуть в механизм переходов между стационарными состояниями, а
также в смысл частотно-энергетических условий Эйнштейна - Бора. Теория
излучения, развитая Дираком, является одним из самых прекрасных
достижений в области квантовой механики.
138) Proc. Roy. Soc., London 114 (1927). См. также изложение в книге
Weyl'fl, Gruppentheorie und Quantenmechanik, Leipzig, 1931; 2-е изд.,
стр. 91 н последующие.
190
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ III
Пусть S-система (например квантованный атом), энергии которой
соответствует эрмитов оператор Н0. Обозначим координаты, описывающие
конфигурационное пространство системы S (если, например, S состоит из I
частиц, то имеется 3/ декартовых координат:
x\ = 4v У\ = Ч2' гг = Яз х1~Яз1-2' У1 = Яз1-1' г1~Язг)> Для
краткости через далее, для простоты пусть Н0 имеет чисто дискретный
спектр: собственные значения Wv W2 собственные
функции "Pi(S), "Рг (Ю" ••• (некоторые из Wn могут совпадать).
Произвольное состояние системы S, т. е. волновая функция cp(Sj),
развивается в соответствии с временным уравнением Шредингера (ср. III. 2)
•5й-И'Р'(r) = -Н^(c)'
СЮ
т. е. если при t = t0 <р, ($) = ср ($) = 2 ak?k (О* т0 Для произволь-
к = \
ного времени
V4 Г- Wb ('-'п)
<P/(5)=i"*e h 0,<Р*(5).
А = 1
- wb (t-t \
Состояние cp(S) = cpA(S) переходит, следовательно, в е h
_ wb (t-t \
т. е. само в себя (так как множитель е h 0 не играет
роли).
Значит, состояния срА($) стационарны. Таким образом, мы сперва вовсе не
находим переходов из одного состояния (?) в другое. Как же получается,
что о таких переходах все-таки говорят? Объяснение несложно. Мы не учли
агента, который вызывает такие переходы, - свет. Ведь уже согласно
первоначальной теории Бора стационарные квантовые орбиты нарушались лишь
при испускании света (ср. прим. 5) на стр. 12), но если не обращать на
него внимания (как в только что намеченной постановке задачи), то
совершенно разумно, что получается абсолютная и постоянная стабильность.
Таким образом, следует расширить исследуемую систему так, чтобы она
включила в себя и свет, который, возможно, будет испущен S, т. е. вообще
весь свет, который может вступать во взаимодействие с S. Обозначим через
L систему, образуемую светом (т. е. электромагнитным полем классической
теории, исключая стационарное поле, порождаемое электронными и ядерными
зарядами). Рассмотрению подлежит тогда система S-\-L.
Итак, надо найти следующие вещи:
1. Набор переменных для квантовомеханического описания системы L, т. е.
конфигурационное пространство L.
2. Оператор энергии системы S-\-L. Эта энергия состоит из трех частей:
а) Энергия системы S, существующая независимо от ?, т. е. невозмущенная
энергия S: для системы S - это оператор Н0-
6]
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
191
Р) Энергия системы L, существующая независимо от S, т. е. невозмущенная
энергия L. Обозначим соответствующий оператор через Нг.
у) Остальная часть энергии, т. е. энергия взаимодействия S и L. Обозначим
ее оператор через Нш.
Как видно, здесь идет речь о вопросах, на которые, в духе основных
принципов квантовой механики, сначала нужно ответить классически, с тем
чтобы полученные таким образом результаты можно было затем перевести на
язык операторов (ср. I. 2). Встанем поэтому сперва на чисто классическую
точку зрения относительно природы света: будем рассматривать его (в духе
электромагнитной теории света) как осцилляторное состояние
электромагнитного поля 139).
Во избежание излишних усложнений (диссипация света в бесконечном
пространстве и т. д.) будем считать, что S и L заключены в очень большой
замкнутой полости Н объема Т с абсолютно отражающими стенками. Состояние
электромагнитного поля в Н описывается, как известно, напряженностями
электрического и магнитного полей: (r) = {(r)_,, dy, (r)г}, ?>= {¦?>_,, ?>у,
?>г}. Все величины .... $г являются функциями декартовых координат х, у,
z общей точки полости Н и времени t. Следует указать еще, что теперь мы
будем часто рассматривать вещественные пространственные векторы a = {ajr,
яу, яг}, b={b_f, by, Ьг} и т. д. (например, (r), ф), а также разные
конструкции с ними, как, например, внутреннее или скалярное произведение
[я, Ь] = ахЬх -|- яуЬу -|- ягЬг.
Здесь, конечно, не возникает опасности спутать это скалярное произведение
с внутренним произведением (ср, ф) в 91^. Обозначим диф-
д2 д2 д2
ференциальный оператор -f- через Д, а известные век-
торные операции - через div, grad и rot. Векторы S и § удовлетворяют в
