Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
числа я* ~ ^^'я^2... пробегают совокупность всех чисел 1, 2, 3, ... и
принимают каждое значение только один раз. Поэтому можно воспользоваться
числами jtf-.... чтобы получить однократную систему текущих индексов для
коэффициентов акм^м
202
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. III
вид:
п= 1
оо оо
где wn.k определяется выражением
Прежде чем извлекать из этого результата интересующие нас физические
выводы, напомним, что он был получен на основе электродинамической теории
света. Было бы желательно установить сперва, достаточно ли проделанного
нами шаблонного квантовомеханического преобразования, чтобы передать
отклонения света от волновой модели, в частности его на самом деле
дискретно-корпускулярную природу. (Конечно, вполне разумно было бы
ожидать, что для достижения этой цели надо бы исходить прямо из
корпускулярной модели, а не "квантовать" электромагнитное поле, как было
сделано выше.)
Непосредственно из вида полученного выражения Н для энергии ясно, что
что-то вроде световых корпускул в нем есть. Действительно, если опустить
в этом выражении второй член, представляющий своего рода возмущение и
который, как вскоре будет видно, является причиной квантовых скачков
системы S из одного "стационарного состояния" в другое (т. е. причиной
интересующего нас сейчас явления, которое, однако, всегда существенно
слабее, чем сама материальная система S и уже присутствующее излучение, и
которые, как мы увидим, овеществлены в первом слагаемом Н), то останется
только
Но это выражение для энергии можно интерпретировать следующим образом:
это энергия Wk системы S, к которой добавляются энергии hpnMn (п= 1, 2, .
. .), в связи с чем напрашивается интерпретация чисел Мп = 0, 1, 2, ...
как чисел частиц, обладающих соответственно энергиями hpn. Но hpn - это в
точности та энергия, которую, по Эйнштейну, надо приписать световому
кванту частоты ря (ср. прим. 134) на стр. 179). Итак, строение Hi говорит
в пользу того представления, что находящееся в полости Н электромагнитное
поле (за вычетом электростатической части), т. е. L, состоит в
действительности из квантов света с частотами рд, р2, . . . и с энергиями
6]
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
203
/zpj, /ф2. .... числа которых указываются индексами М2, ...
(=0, 1, 2, .. .). То обстоятельство, что других частот, помимо
рр р2 нет, можно сделать легко понятным, если заметить, что
эти частоты являются собственными частотами полости Н. Действительно,
векторы-потенциалы (xyz) у cos 2лря (t - т) представляют собой
единственно возможные в Н стационарные электромагнитные колебания.
Приведенные соображения и интерпретации обладают поэтому лишь
эвристической силой; полностью удовлетворительный и окончательный ответ
на наш вопрос мы получим лишь тогда, когда, и если, нам удастся получить
выражение Н для оператора энергии, отправляясь от модели световых квантов
для изучения L. Мы вынуждены были провести сначала классическое
рассмотрение из-за того, что доквантовомеханическая гипотеза световых
квантов не дает нам выражения для энергии взаимодействия кванта света с
материей (в этом пункте реинтерпретацию классической электродинамики
никогда не удавалось провести). Теперь же мы сможем определить этот член
взаимодействия сравнением коэффициентов, если только окажется, что
результат, который мы получим, пользуясь общим выражением для энергии
взаимодействия, совпадет по форме с оператором Н.
Что такое конфигурационное пространство L (вопрос 1.) с точки зрения
гипотезы световых квантов? Один-единственный световой квант (в полости Н)
можно было бы охарактеризовать известными координатами, совокупность
которых мы обозначим символом и 145). Пусть его стационарные состояния (в
Н) обладают волновыми
145) В качестве координат, описывающих световой квант, можно
использовать, например, его импульсы рх, ру, pz, а также координату я,
определяющую его состояние поляризации. Компоненты рх, ру, pz определяют
направление движения светового кванта, т. е. его направляющие косинусы
ах, ау, az (ах ау az = l), равно как его частоту v, длину волны X и энер-
/iv
гию, ибо согласно Эйнштейну длина вектора импульса равна -у (ср. прим.
134)на стр. 179), и следовательно,
Av Av Av
рх = - ах, ру = - ау, Pz = -
т. е.
= y Vp2x + P2y +P2Z> Х==-7> энергия = Am,
срх сру cpz
а* ~ Av ' аУ - Av ' " ~ Av •
Здесь, однако, начинает мешать то обстоятельство, что наши
собствен-
ные колебания Жп {х, у, г) у cos 2яря (t-т) являются стоячими волнами -
иных и не может быть в полости Н из-за отражающих стенок, - а такие
собст-
204
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. III
функциями ^(и), ф2(м)> ••• (которые образуют полную ортонормированную
систему) и энергиями Ev Е2, ... Эти стационарные состояния отвечают
электромагнитным собственным колебаниям 9tlt ЭД2, с частотами рр р2, ...
(Согласно представлениям Эйнштейна должно быть Еп = /гр", что также будет
доказано.) В связи с этим надо заметить следующее: уже при
электромагнитном рассмотрении мы так нормировали энергию света, что ее
