Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
механики координатами qv q2 - которые связаны с мгновенным
значением вектор-потенциала 2L описывающего поле, соотношением
21 == 21 (х, у, z) == 2 <7 А (х, у, г), -
/1=1
посредством энергии (гамильтоновой функции)
л-i
Точка массы 1, движущаяся по прямой линии, с координатой q, находящаяся в
потенциальном поле Cq2, С = 2тс2р2, обладает энергией
т[(ж ?) -)-4u^p292j. Или же, поскольку опять p = ~q, равной
у(Р2+4тс2Р292). Уравнение движения такой частицы имеет, следова-
~ ~ ~ тельно, вид q -f- 4тс2р29 = 0, решением которого является q =
cos 2тср(/- т) (f, т произвольны). Благодаря такому характеру движения
эта система называется "линейным осциллятором частоты р". Следовательно,
L можно рассматривать как совокупность некоторой последовательности
линейных осцилляторов, частоты которых являются собственными частотами
полости Н: pj, р2, ...
Это "механическое" описание электромагнитного поля важно потому, что его
можно немедленно реинтерпретировать в духе обычного метода квантовой
механики, описывая конфигурационное пространство системы L координатами
qv q2, ... и заменяя в выраже-
р, ~ ~ h д ~
нии для с величины рп и qn на -щ- ... и qn • ¦ ¦ соответственно.
Последние операторы обозначим через Рп и Qn. Тем самым вопросы 13*
196
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. III
1. и 2. Р) будут разрешены, в частности, оператором, о котором шла
речь в 2. Р), явится
Вопрос 2. а) был решен заранее, так как мы приняли, что Н0 известно.
Таким образом, остается лишь вопрос 2. у), который, однако, не готовит
нам дополнительных трудностей.
Согласно классической электродинамике, взаимодействие между S и L
вычисляется следующим образом: Пусть S состоит из I частиц (скажем,
протоны и электроны) с зарядами и массами ех, т1, ... ..., ег, т1
соответственно и с декартовыми координатами x1 - q1,
yx = q2, zx = q3 Xl = qzl_2, yt = qu_v zt = qu (совокупность
которых образует символ ?, введенный выше) и пусть им соответствуют
импульсы р*, рУ, рх р*, рУ, pj. Тогда энергия взаимодействия будет иметь
вид (в достаточном приближении)
Соответствующий оператор квантовой механики получается путем
которые мы обозначим через Pf, Ру, Ру, Qf, Qf, Qf. Учитывая еще, что
Здесь следует заметить, что мы заменили произведения pf91n Д*,' Уч> zу)
СО
замены рх, рУ, р*, хч, у, (v=l, ..., I) на операторы h д h д
2я/ дХу ' 2яг дуу '
СО
3((д;, у, г)=^дпШп(х, у, z),
получаем искомый оператор Н", в виде
оо I
Я=1 v=l
операторами, используя произвольный порядок сомножителей: Ql Qv), хотя мы
могли бы с равным основанием взять ЭДл, xn(Ql Ql Q*)Pi' а чтобы
обеспечить эрмитовость возникающего
142) См., например, ссылку в прим. 138) на стр. 189.
Oj ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 197
оператора, в действительности следовало бы пользоваться симметричной
записью вида
уСяПя.Ло?. Qv, q0+ %,.*(#. Qv, q:jpf)....
К счастью, все это не играет роли ввиду того, что
[# 1л,х(Qf. Qv, Q0+ • • •] - [I/,.x(Of. Qv. Qv)pf + ...] =
= [/>fln.x(Q?. Qv. Q,*)-In.x(Qf. Qv. QJ)^]+ ...ш) =
= Qv. Q0+ = 2^-div!"(<#, Q0 = o.
Таким образом, полная энергия нашей системы S-\-t и ее оператор
Н = Н0 + Нг + Нц,
теперь полностью определены. Но прежде чем преобразовывать Н дальше,
заметим следующее: конфигурационное пространство системы S-\-L
описывается координатами $ (т. е, qv .... дъ1 или же xv yv
zv xv yv zt) и qv q2 а волновая функция зависит от
всей их совокупности. Но допускать в рассмотрение системы с бесконечно
многими степенями свободы или же волновые функции с бесконечно большим
числом переменных неудобно в формальном отношении и сомнительно с
точки зрения законности математических опе-
раций, - наши предписания относились ведь всегда к случаю конечного числа
координат. Мы будем поэтому сперва учитывать лишь Л/ первых из координат
qv q2 а именно qx qN (т. е. мы ограничим ЭД линейными комбинациями Stj,
.... ЭДЛ.), и лишь после того, как будет получен готовый результат для
такой упрощенной системы, мы выполним фактически необходимый предельный
переход N оо.
143) Так как Р* коммутирует с Q*, Q* и не коммутирует только с Of, то
для того, чтобы обосновать последующее преобразование (мы опускаем
излишние индексы и заменяем St на F), следует доказать соотношение
PF(Q)-F{Q)P=^F> (0),
п h - д " ~
в котором ---. Q-ЧЭто соотношение, играющее в матрич-
ной теории исключительно важную роль, проще всего проверяется с помощью
прямого вычисления.
198 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. III
Таким образом, получаем
H = H0+y2(^+W№)+ n=i
+2 Ql оЗ+
Л=1 "=1
+ рШп.у(05> Ql Qf) + рШп, z(Qf. Ql Qf)}.
Вместо Pn, Q" удобно ввести (не эрмитовы!) оператор Rn и сопряженный ему
Rn:
(2хрА+й = vkr <2"рЛ ~,К)-
Тогда Q" = -L j/"~^~{Рп + Рл). и так как PnQn ~QnPn = -gET 1. Т°
+4lt2p"Q")+у ' 1 ¦
РлРл = 27^ (Рл + ^УлЙ) - ~ ¦ 1 •
Поэтому, в частности, RnR*n - RnRn=l. После этого формула для энергии
принимает вид
N
Н = Н0+ 5]ЛРлРлРл +
Я = 1
+? t2^(*,+*:) №,,("• "?• "о+
Л - 1 V=1
+Р^л,У(е Qf- Qf)+pv4,,(Qf' Q?.Qf)]+c.
N
где С = const = -j ^Лрл. Поскольку аддитивная постоянная в вы-л=1
