Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
ражении для энергии не имеет смысла, то константу С можно опустить. Это
тем более желательно, поскольку при оо С ста-
новится бесконечным, что нарушило бы разумную конечность теории.
Эрмитов оператор RnRn является гипермаксимальным и обладает чисто
дискретным спектром, именно, состоящим из чисел 0, 1, 2, ...
6]
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 199
Соответствующие собственные функции обозначим через ф"(qn), ф" (qn),
Ф? (?")••••
¦ г- 1 1 Г h ~
[Если положить ~2^ у ~ q вм"сто qn, то
1 0 ~ 0 1 А ря ~ 1 h д \ л f h \ д
УЩп 1tPn9'n- 2кЯп И 2Лр^ ~ъ7 ~dq^ 2тс" V 2^п7 ~dq~n
1 lid
перейдут в -у=Ч и -рт- - ^- соответственно, так что получим
~Rn=V^iq+~dq)' Rn==Vf{q~d^
D Ъ* i d_2 I -2 I J_
KnKn - 2 dq2 ' 2 " ' 2 '
R*R i
'Тл'Тл- 2 <^2 i 2 " 2 '
Теорию собственных значений этих операторов можно найти во многих
изложениях, например, Courant - Hilbert, стр. 261, формулы (42), (43) и
относящийся к ним материал, а также стр. 76, формулы (60), (61) (русский
перевод: Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики, ГТТИ,
1933, стр. 84, формулы (30), (31) и стр. 310, формулы (48), (49)); или
Weyl, Gruppentheorie und Quan-tenmechanik, стр. 74 и далее.]
Так как ^ (?), ф2(?), ... образуют полную ортогональную систему
в пространстве ?, а Фо(<7"), ^i(<7n). ••• образуют полную
ортогональ-
ную систему в пространстве qn, то
фш, ... Ч\ ?лг) ^ (c) ' Фж1 (^i) ••• ^mn{4n)<
k=l, 2 Мt MN - 0, 1, 2, ... образуют полную ортогональную систему в
пространстве ?, qv ..., qN, т. е. в конфигурационном пространстве. Мы
можем тогда разложить любую волновую функцию Ф = Ф($, <7, qN) следующим
образом:
ОО ОО оо
ф(5, Ях лйо' ' '
1 п
оо оо оо
=Ж Л1?0 ' 'о"**" - М^к (r) ^ ' ' ' ^
То обстоятельство, что мы нумеруем полную ортогональную систему
и коэффициенты разложения N1 индексом k, Л4,..........................
MN,
200 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (ГЛ. ПГ
а не одним, не играет никакой роли. Как показывают рассуждения в II. 2,
гильбертово пространство волновых функций Ф можно интерпретировать также
как пространство (7V-f-l-кратных) последова-
тельностей akM. ... mn с конечной 2 2 ••• 2 I akM, ... л"|!
1 \ * = 1 АГ, = О Мдг=0 1 1
Какой же вид принимает оператор Н при таком понимании гильбертова
пространства? Чтобы выяснить это, вычислим сначала НФ*ш, ... mn- Так как
Но действует только на ?, а фл(?) является собственной функцией Но с
собственным значением Wk и, далее, так как RnRn действует лишь на qn, и
ф^ (qл) является собственной
функцией R*nRn с собственным значением Мп, то
НФ*м,...mn = ^* + 2 h?nMn j Фшх ...mn +
+ 2 i2=: <?• c.')+
/2=1 V= 1
+ ^,(0* <2?) + рЯ, *(<??. <??. Qf)] X
x Ф, (c) ft) • • • (Rn+*;) n, ft.) • • • ts*
Для любого оператора А, который (подобно выражению [...]) действует лишь
на переменную 5, можно пользоваться разложением
СО
А|<* (c) = 2 (ЛФ*. фу) • фу (c) = 2 И)*уфу (c).
/=1 J
Где (A)kj=(Atyk, ф;). Дальше, как показано в упомянутой выше работе,
К'К ft) = 1 (чп). R*nrM ft) = VM + \ rM+1 ft)
(при М = 0 правую часть первого уравнения надо считать, не обращая
внимания на появляющееся в ней выражение ф"г равной нулю). Следовательно,
НФмГ, ... Ждг = 2 h?nMn^ Ф^! ...mn +
°о N -------- / i _ \
+2 S V it(2таг"?¦ "о+ • • •) J х
j=l Л=1 V - 1 /
X 1 Фу-Afj ... Afn + 1 ...АГд,-Г К... Жл-1 ...АГдг)*
fi] ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 201
Теперь оператор Н можно представить себе как оператор, действующий на
коэффициенты akMl...MN по формуле
Н - Л*Ф*Л. -м" = ьм^.м/^ - М"Ф*М1 - м"'
где
( \ \
... mn== akMx ... mn= | ^k + ^ ЛрпМп 1 акМ^ ___
/1 = 1 /
да- jV ,______/ I
+?S/isr Sissr(pA.,№ "г "з+ •••)" ><
У = 1 /1=1 ' v= I /
х (*^ "/л,... Лд_1... укп ^ jMl ... -Л1л + 1 ** • Ждг).
Здесь наше обсуждение оператора Н достигло того этапа, когда можно уже
осуществить предельный переход N -> со. Поскольку система индексации
коэффициентов аш м изменяется при таком
процессе, то в результате возникает совершенно новый оператор Н. Нам
нужно ввести компоненты акМ м с бесконечно многими индексами Мг, М2, ....
но уже для того, чтобы гарантировать конеч-
ОО
ность суммы kpnMn, фигурирующей в Н, следует ограничиться п=1
такими последовательностями Мг, М2 .... которые содержат лишь конечное
число элементов, отличных от нуля. Итак, начиная с этого момента будет
строиться гильбертово пространство последователь-
ОО оо оо
ностей акМ1мг... с конечной суммой 2 2 2 I акМ,м2... I2; при
k = l jM,i=0 jMj=0
этом индексы k, Mv М2 пробегают следующую область: к = \, 2, ..., Mv М2,
... =0, 1, 2, .... с конечным (но произвольным) числом МпфЬш).
Окончательно оператор принимает следующий
|44) То, что так описанная система индексов k, Ми М2, . ¦. действительно
образует последовательность, можно проще всего доказать следующим
образом. Пусть я,, я2, я3, ... есть ряд простых чисел 2, 3, 5, ...
Произведения ... в действительности будут конечны, так как,
кроме ко-
м
печного числа исключений, все Л1л = 0, т. е. сомножители я д = 1. Далее,
если к, Ми М2, ... пробегают полностью всю нашу систему индексов, то
