Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 75

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 145 >> Следующая

пустом пространстве Н уравнениям Максвелла:
div *§> = 0, rotd-f-^- - ф=0,
div(r) = 0, rot<?> --^-@ = 0.
у с at
139) Интересующийся этими вопросами читатель может найти изложение
электромагнитной теории света в любом учебнике электродинамики, например,
Abraham-Becker, Theorie der Elektrizitat, Berlin, 1930. (Есть русский
перевод: А б p а г а м-Б e к к e p, Теория электричества, ОНТИ, Л.-М.,
1936.) Ср. также дальнейшее изложение, проходящее в рамках теории
Максвелла.
192 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. HI
Первое уравнение первой строки будет удовлетворено, если положить ?> =
rot2t (где ЭДУ, -так называемый вектор-
потенциал; его компоненты также зависят от х, у, z, t), а второе-
если (5 = - П°сле этого Уравнения второй строки приобре-
тают вид
(A) div ЭД = О, ДЯ--1^-Я = 0.
[В целях повышения симметрии пространства и времени, вектор-потенциал
вводится часто несколько отличным способом. То, что предложенный способ
введения ?! дает общее решение уравнений Максвелла- здесь надо обратить
особое внимание на то, что из первого
уравнения второй строки следует лишь, что -^-div9t=0, т. е. div9t=
== f(x, у, z), -доказывается в большинстве изложений теории Максвелла.
Поэтому мы не станем дольше останавливаться на этом. Ср. прим. 139) на
стр. 191.] Уравнения (Л.) являются исходным пунктом для дальнейшего.
Свойство стенок полости Н отражать свет можно выразить в виде условия
перпендикулярности вектора-потенциала 21 к стенкам на границах Н.
Известный метод нахождения всех таких 21 состоит в следующем. Так как в
рассматриваемой проблеме t нигде не фигурирует явно, то наиболее общим
выражением для 21 будет линейная комбинация всех решений, имеющих вид
произведения вектора, зависящего от х, у, г, на зависящий от времени
скаляр,
21н=21(я, у, z, /)===21(лг, у, z) ¦ q(t).
Уравнения (Л.) дают тогда
(Ль) div! = 0, Д1=т)1,
перпендикулярно к стенкам Н на границе.
(Л2.) ¦jp4{t) = c2t\q (t).
Здесь, согласно (Ль), т) зависит лишь от х, у, z, а согласно (Л2.) - лишь
от t. Значит, г\ есть константа.
Таким образом, уравнения (Ль) формулируют проблему собственных значений,
в которой у\ является параметром для собственных значений и ?! -
собственной функцией. Теория таких задач полностью разработана, и мы
приведем здесь лишь результаты 14°).
|4°) Ср. R. С о u г a n t und D. Hilbert, Methoden der mathematlschen
Physik I, VI, §2,2. -5., стр. 358-363, Berlin, 1924.
"] ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 193
Задача (Ли) имеет чисто дискретный спектр, все собственные значения Tjj,
т)2, ... (пусть им соответствуют ЭД2, •••) отрицательны
и стремятся к -оо при n->-f-oo. Полную систему ЭДр ЭД2. ••• можно
нормировать условием
J /I J I 9 для тф п.
(Мы выбрали 4itc2 вместо обычной 1, поскольку в дальнейшем такая
нормировка окажется немного более практичной.) Обозначим ^(<0)
4*2Р I
через • (рл > 0, при п-имеем также рл->-|-co), тогда
(Лг.) даст
qn (t) = f cos 2тсрл (t - т) (f, т произвольны).
Таким образом, самое общее решение ЭД имеет вид
СО
9t = 9t(x, у, г, 0=ЦШ"(х, у, z)qn(t) -
/1=1
СО
- у. 2)T"cos27cp"(f - тл)
П~ 1
(*fi> Кг" •••• *1* т2> •••-произвольные константы). Энергия произ-
СО
вольного поля 3(=2^n(x> У< z)qn(t) (где Щ не предполагается
П= 1
решением задачи (Д.), т. е. коэффициенты qn(t) произвольны) составляет
E = -^J f /([(r)> §])dxdydz =
И
f ЭГ(r)]-+-["*Я, го m)dxdydz =
н
= Tto 2 / / / (с5- дГ Ч(tm) ^ Ж Ч" ^ ^"1 +
тп, л = 1 Н
+ Чт (0 Чп (0 lrot r0t Йя] ) dx аУ dz¦
13 И Нейман
194 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. III
Интегрируя по частям, получим 141)
J j f r°t Hi"]dx dy dz =
H
= j j' f [rotrot9tm, 91 n\dx dydz -
H
= f f I^m+graddiv9tm, %n]dxdydz =
= ^ IIIf"] dx dy dz•
H
1 ^ / 1 д ~ д " 4кУт \
8n \"с* Ж Чm ^ Ж 4n ^ "I с7"- c,m ^ Ч'1 ^ /
Поэтому
_2"2 ^ ^ (
^ ut ' ut i." ¦' / ^
m, n~ 1
CO
X / / / ^"1 dx dy dz = J 2 [(ж Чт (t)J + 4*Ут {ят (О)2] •
Н m= 1 .
Ho q2, ... можно рассматривать как координаты, описывающие мгновенное
состояние поля, т. е. как координаты конфигурационного пространства
системы L. Сопряженные импульсы рп (в смысле классической механики)
находятся из формулы
СО
?=42((ж^)2+4я2й
л = 1
в форме
1
~рп = ТГЖ^ТЕ = ЖЧп> ? = у2(^ + 4тс2Рл^)
д\'дГЧп) Л=1
141) Именно,
/я [a, rot 5] dx dy dz - Iff [rot a, b] dx dy dz
H H
благодаря тождеству
[о, rot b] - [rot a, b] = div (a X b)
(a X Ь - так называемое внешнее, векторное произведение векторов а и Ь),
если только нормальная компонента произведения a X Ь исчезает на границе
Н. Так как а X & перпендикулярно к а и Ь, то это безусловно так, если а
или Ь перпендикулярно к Н. У нас а - rot 9fm, b = ЭГ", так что первое
безусловно выполняется.
6] ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 195
(ср. 1. 2). Отсюда можно получить уравнения движения классической
механики
^ ^ п . л 9 ^ д ~ dp ^
Ир' = ~ Ж,Е~~*и?л- Тг"'=ЖЕ=Р"
т. е.
~qn + ^Ynqn = Q,
что в точности совпадает с уравнениями (Дг.), вытекающими и^ уравнений
Максвелла. Тем самым доказана теорема Джинса:
Поле излучения L можно описать в смысле чисто классической
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed