Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
это непрерывные операторы: они определены повсюду и, следовательно,
максимальны, а поскольку, согласно Гильберту (смотри ссылку в прим.64),
стр. 78), проблема собственных значений для них всегда разрешима, они
также гипермаксимальны. Во-вторых, это операторы, вещественные в какой-
либо реализации если они максимальны. Ведь единственное различие между 6
и § по их определению сводилось к знаку перед /, который, если все
остальное вещественно, не имеет значения. Таким образом, - оказывается
следствием 6 = 91^ и наоборот, т. е. гипермаксимальность следует из
максимальности. Без предположения о свойстве максимальности мы, во всяком
случае, можем сказать, что 91^- 6 и 91ю- 5 имеют одинаково много
(одинаковое число) измерений. Следовательно (в терминах, принятых выше
при исследовании соотношений продолжения), p = q, и, значит, r = p = q и
[6, ?j,.... <рг]=[б,
[g. Фы .... <M = [g. 9*00-31=9*00.
т. е. продолжения, полученные тогда, были гипермаксимальны. Итак,
вещественные операторы всегда имеют гипермаксимальные продолжения. В
литературе, указанной в прим.95), стр. 111, показывается, что то же самое
справедливо для всех дефинитных операторов.
10. Коммутирующие операторы
Два оператора R и 5 коммутируют согласно данному в II. 4 определению,
если выполняется RS - SR', при этом области определения обеих сторон
равенства, если только они не имеют смысл всюду, также должны совпадать.
Мы ограничимся сперва эрмитовыми операторами, и притом, чтобы не
возникало трудности с областями определения, такими, которые определены
всюду, следовательно- непрерывными. Одновременно с R и 5 мы будем
рассматривать и принадлежащие им разложения единицы Е(к) и F (к).
Коммутативность R и S означает, что (RSf, g)=::(SRf, g) для всех /, g, т.
е. что (Sf, Rg) = (/?/, Sg). Далее, из коммутативности R с S следует и
коммутативность Rn с S (п = О, 1, 2, .. .), значит, и коммутативность
p(R) с S для всех полиномов р(х) - ==а0~Ьа1л:+ ••• + апхП'
Символически
с с
R= f I dE (X), s(R)= f s (X) dE (X)
-c -c
9 И. Нейман
130
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
(С - постоянная, введенная в И. 9 для непрерывного оператора R, который
обозначался там через A; s(x) - какая-либо функция; ср. 11.8, особенно
прим.94) на стр. 110.) Для полиномов s(x) выполняется (s{R)f, Sg) = (Sf,
s(R)g), т. е.
с с
*. f s (k)d (Е (k)f, Sg) = J s (к) d (.Sf, Е (к) g).
-с -с
Поскольку любую непрерывную функцию можно сколь угодно хорошо
аппроксимировать полиномами (равномерно в -С^х^С), то *. выполняется еще
и для непрерывных s(x). Пусть теперь
I = Х0 - х для д; < Х0, s(x) | __ о для х > Х0,
тогда *. даст нам
хо \
J (k0-k)d(E(k)f, Sg) = J (k0-k)d(Sf, E(k)g).
-с -с
Заменяя здесь Х0 на Х0 -|- s (г > 0), получим, вычитая и деля на г:
Х0
f d (Е(к) /, Sg)+ f ±^b>d(E(k)f, Sg) =
-С )s0
К Xn+e
f d(Sf, E(k)g)+f A_A d(Sf,E(k)g),
-c
и при e->0 (вспоминаем Si.!)
Xq X0
fd(E (k) /, Sg) = fd (Sf, E (X) g); (E (X0) /, Sg) = (Sf, E (X0) g). -c
-c
Таким образом, все Д(Х0) для -С^Х0^)С коммутируют с S, для остальных же
это очевидно непосредственно, поскольку для Х0 <-С или для Х0 > С Е (Х0)
= 0 или соответственно 1.
Итак, если R коммутирует с S, то то же выполняется и для всех Е(к).
Обратно, если все Е(к) коммутируют с S, то *. выполняется для каждой
функции s(x), благодаря чему все s(R) коммутируют с S. Отсюда мы можем
вывести, во-первых, что R тогда и только тогда коммутирует с S, когда это
имеет место для всех Е (к), и, во-вторых, что в этом случае коммутируют с
S и все функции s(R) от R.
10]
КОММУТИРУЮЩИЕ ОПЕРАТОРЫ
131
Но теперь некоторое Е (к) будет коммутировать с S тогда и только тогда,
когда это будет иметь место для Е(к) и всех Е(\>.) (мы применяем нашу
теорему для S и Е(к) на месте R и S). Таким образом, для коммутативности
и S характерно и то, что все Е(к) должны коммутировать со всеми /''(р.).
Далее, коммутативность R н S имеет, согласно сказанному выше, следствием
и коммутативность г (R) с S, что в свою очередь (если заменить R, S на S,
г (R)) - коммутативность г (R) с s(S).
Если эрмитовы операторы R и S не связаны условием непрерывности, то
положение усложняется, поскольку области определения RS и SR могут
слагаться очень ненаглядным образом. Так, например, R ¦ 0 имеет смысл
всегда (так как 0/ - 0, R-0f = R(0f) = = R ¦ 0 = 0), а 0 • R, напротив,
только если R имеет смысл (ср. сказанное по этому поводу в II. 5). Таким
образом, для не всюду определенного R вследствие различия областей
определения R ¦ 0 Ф 0 • R, т. е., строго говоря, R не коммутирует с 0.
Такое положение вещей чрезвычайно неприятно для наших дальнейших целей:
оператору 0 следовало бы коммутировать не только с непрерывными, но и со
всеми эрмитовыми операторами 107). Мы определим поэтому для не
непрерывных R, S коммутативность другим способом; мы ограничимся при этом
единственно интересными, согласно II. 9, гипермаксималь-ными R п S.
Определяем: R и S должны называться коммутирующими в новом смысле, если
