Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
1
J ctg2 (iro) d | J sin2 (тга7) (аО ср ||2) =
О Vo /
1
= J ctg2 (uo) - sin2 (uo7) ^||Z: (a7) cp ||2 =
0
1
= j cos2 (-rca) 1| -fi1 (a) cp ||2.
о
l
Но поскольку он абсолютно мажорируется интегралом J rf||?(e)<p||2 =
0
- 11? II2" to oh конечен. Далее Л/ = у(ср + ?/ср) =y (ср + У* еы° dE(a)а
г - )q?
о
1
Г 1 + е2" ,РМ Г . е(tm)'+1 l-e2*h . .
= J dE(c)^ = J .2, <fg(a)<p =
о о
= / - ctS 0м) dlf ^--ji- dE (O ?) =
0 Vo /
1 CO
= f - ctg (uo) dE (a) / = ldF(k)f.
0 - со
т. e. окончательное соотношение из S3. также выполнено. Соответственно А
есть во всяком случае продолжение того оператора, который, по S3. ,
принадлежит F (X), но, поскольку (как мы покажем) он максимален, то А
должен с ним совпадать103).
н>3) Здесь содержится неявное допущение, что для каждого данного
разложения единицы F (X) такой оператор в действительности существует.
Это
СО
значит, что предполагается, что при конечном J l2d |[ F (X) /[|2 может
быть
9] О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕН. ЗНАЧЕНИЙ 123
Рассмотрим теперь обратное утверждение. Пусть F (К) принадлежит А в
смысле Si.-S3. Что можно сказать об U? Определим сперва Е(а) при помощи
(С.). Оно, следовательно, будет удовлетворять Si., S2. Пускай ср
произвольно. Напишем (опять символически)
ОО 1
/=¦ fiTldF (Х)У = /--Fgferrt dE(g)y =
- 00 0
} \-еы°
= J --dE(°)9
(так как ууу или ----------^- ограничена, то все сходится^. Но тогда
1
/* 1 р2ге/о'
F(k)f = E{a)f = j d(E(a)E(af) ср) =
О
1 о
= j ------21-------^(^(min(o, o'))cp) = j -j.-dE (a-) cp,
о 0
OO 1
A/= J X dF (X) / = J - ctg (rca) dE (a) / =
- 00 0
0 \o /
1 1
= J ~~ 1 _ 1'----2Г----dE(°)9=J -jr2-----------d?(a)<p,
и, значит,
-4/+ if = J dE (a) cp = cp; Af - if = J e1^1" dE (a) cp.
найдено такое /*, что для всех g (/*, g)= J Xd (F (X) /, g) и что / с
этим
- ОО
свойством повсюду плотны. (Эрмитовость оператора, определенного таким
образом, следует тогда из 53.: нужно поменять / и g в последнем выражении
и взять комплексно-сопряженное.) Оба эти предложения доказываются в
статье, цитированной в прим. 78), стр. 91).
124
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. II
Тем самым (/ср определено и равно J еЫя dE (а) ср. Поскольку ср было
о
произвольно, то U имеет смысл всюду. Если мы образуем внутреннее
произведение с произвольным ф и возьмем комплексно-сопряженное,
1
то убедимся, что ?/*ф = j е~2*'яе1Е(о)ф. Выкладка в конце II. 8 по-
o'
казывает тогда, что UU* = U*U = 1, т. е. что U унитарен и принадлежит Е{
о).
Итак, разрешимость проблемы собственных значений оператора А эквивалентна
унитарному характеру его кэли-образа U. Его единственность этим
установлена и таким образом последний остающийся вопрос это - всегда ли
мы можем образовать U, и если да, то когда он будет унитарен? Чтобы
ответить на эти вопросы, мы опять начнем с замкнутого эрмитова оператора
А.
Мы определили U таким образом: Если ср- Af-\-if и только
тогда (/ср имеет смысл и равно Af - if. Но сначала следует пока-
зать, что это определение вообще приемлемо, т. е. что для одного ср не
может существовать нескольких /. Или, иными словами, что из Af if - Ag-\-
ig следует, что f = g, или, в силу линейности А,
что из Af if = 0 следует, что /= 0.
Мы имеем
\\Af±if\\2 = (Af±if. Af±tf) =
= (Af, Af) ± (Af, lf)±(tf, Af) + (lf, if) =
= M/ll2 qp i(Af, f)±l(f. Af)+ ll/ll2 = M/ll2+ ll/ll2-
Итак, из Л/ + // = 0 вытекает ||/||2^|| Afг/||2 = 0, / = 0, и, значит,
наш способ определения оправдан. Во-вторых, ||Л/ - Ч\\ = = ||Л/ + г'/11>
т- е' ||t/cp|| = ||ср||. Но, значит, U, коль скоро он определен,
непрерывен. Далее, пусть (? - область определения U (т. е. множество всех
Л/ + //) и $ - область изменения U (множество всех Uf, т. е. множество
всех Л/ - if). Так как Л и (/ линейны, то 6 и 3 СУТЬ линейные
многообразия, но они еще и замкнуты. Действительно, пусть ср - предельная
точка (? или % соответственно. Тогда существует последовательность ср:,
ср2, . .. из 6 или из g соответственно, сходящаяся к ср: срт->ср. Значит,
срл=Л/"±//п. Поскольку срп сходится, они удовлетворяют критерию
сходимости Коши (ср. D. из II. 1), и поскольку
|| /т - / J =Э И (/" - fn) ± 1 (/т - fn) II = II ?т - II.
то и /", безусловно, удовлетворяют этому критерию, но так как II Afa-Afn
|| = || A (fm-fn) || || A{fm- /") ±t(fm-fn) 11 = || cpm- c?J|,
9] О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕН. ЗНАЧЕНИЙ 125
то и Afп также удовлетворяют критерию. Следовательно, /,, /2, и Afv Af2,
... (по D. из II. 1) тоже сходятся: /т->/. Afm->f*. Поскольку А -
замкнутый оператор, Af определено и равно /*. Имеем, следовательно:
<?л = Afn ± Чп f* ±lf = Af± If, <р" -><р.
Но, значит, ср =Л/±г/, т. е. ср также принадлежит к (c) или к g
соответственно.
Итак, U определен в замкнутом линейном многообразии (c) и отображает его на
замкнутое линейное многообразие g. Оператор U линеен и, так как ||Uf -
Ug\\ = \\U(f- ^)|| = ||/ - ^||, то оставляет все расстояния
инвариантными. Мы назовем его изометрическим. Тем самым из Uf Ф Ug
