Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
(следовательно, согласно Sv, равно 0), поскольку иначе для соответственно
выбранных Х[ < Х2 < 0 было бы Е (Х2) - Е (Х[) ф 0, значит, можно было бы
выбрать f Ф Ос (?(Х2) - Е(\{)) f = f. Но отсюда следовало бы, как мы уже
многократно заключали,
?")/_ {' *"
( О для Л ^ Ль
следовательно,
оо Х2 Х2
(Af, /) = f \ d (Е (X) /, /) = J \d(E(\)f,/)Ш f Х2 d (? (X) /, /) =
-оо X, X,
= Х2 ((? (Х2) - Е (X.) )/,/) = х2 (/, /) < 0.
Поэтому
ОО ОО 00
А= J X dE (X) = J X dE (X) = J n*dE(u2),
-oo 0 0
00
и A' = J ii dE (р.2) представляет собой желаемый оператор.
1
Подчеркнем: из дефинитное(tm) мы заключили о том, что Е (К) = 0 для X < 0.
Так как из последнего естественно следует дефинитность, то это, т. е. то
обстоятельство, что весь спектр 1^0, - является характерным для
дефицитности.
142 общие Свойства гильбертова пространства [гл. и
Но в последнем мы убедимся, если запишем Е(]/Л]/в) в виде
с"______________________ со
? (У а у в) = 2II Va V в ^ IF = 2 {У а ув%, у а ущ^ =
11=1 11 = 1
СО со
- 2 (У А ¦ у А У в%. Ув^=ъ (.лув<р у в cpj. (1=1 (1=1
Тем самым строгое обоснование понятия шпура в том объеме, который мы
признали выше желательным, проведено.
Последняя формула позволяет сделать и следующее заключение: если Л и В
дефинитны, то АВ = 0 является следствием равенства Spur(i4B) = 0.
Действительно, последнее утверждает, что л{улув) = О, следовательно, и У
А У В = 0 (ср. сказанное на стр. 140 или следующее ниже рассмотрение ?);
следовательно,
ав = у а- У~аУв ¦ Ув = 0.
Для дефинитного эрмитова оператора Л вычисления со шпуром корректны и в
первоначальной форме. В самом деле, если ср,, ср2, ... -
СО
полная ортонормированная система, то 2 (Ау , ср^) (сумма, кото-
ii=1
рая была призвана определить шпур !) будет суммой с только
неотрицательными членами и, следовательно, будет или сходиться, или
собственно (к + оо) расходиться. Теперь могут встретиться два случая: или
эта сумма бесконечна при любом выборе ср,, ср2, ...,- тогда шпур
действительно определен независимо от ср,, ср2, ..., а именно равен -)-
оо, -или же она по крайней мере при одном выборе ср,, ср2, .... пусть при
ср,, ср2, ..., конечна, но тогда из-за
(со \2 со с"
S(^V ?|j) = 2 2 ?р)12=?(Л)
11 = 1 / (1, V=1 11, V=1
будет конечной и ?(Л), пусть, например, равной С2. Если теперь ф,, ф2,
... -какая-либо полная ортонормированная система, то
со
?(Л) = 2 ||A|gi2=c2, цлф,||2=?С2, ||Лф,||^с.
11=1
Поскольку каждое ф с ||ф|| = 1 можно выбрать за ф, такой системы, то из
||ф|| = 1 следует ЦЛфЦ^С. Тем самым в общем случае будет ||Д/||з==С||/||:
Для / = 0 это очевидно, а для /ф 0 достаточно
положить ср = /. Но тем самым А удовлетворяет условию St.
из II. 9, т. е. А будет непрерывным оператором. Однако можно утверждать и
значительно больше.
и] шпур 143
Именно, из-за конечности Е (А) оператор А принадлежит к классу так
называемых полностью непрерывных операторов, для которых Гильберт
показал, что проблема собственных значений разрешима для них в
первоначальной форме, т. е. что существует полная орто-нормированная
система фр ф2, ... с = Х^ (и притом еще Х^->0 для (л -> оо)115). Из
дефинитности А следует, что
V = t,J>0- далее
2^=2 |И^||2 = Е(Л) = С2.
tb=l Р=1
Если (рР (р2, ... образуют некоторую полную ортонормированную систему, то
-Smv = 2^2 Mv tv)(tv- j = 2^2 (V Atv)(tv )=
= 2^2 К (v W= Д ( 2 VKv WI'
И6) Ср. прим.64) на стр. 78. Прямое доказательство удается провести
следующим образом. Пусть Х0 < < Х2 < ... < Х", все они ;> г или
же
все< - г, ?(Х0) ф E(ki) Ф Е (Х2)ф ... ф Е (X-). Тогда ?(Х.,) - Е (K-i) Ф
0, следовательно можно выбрать <р" Ф 0 с (Е (к,,)- E(kv_ 1))tPv = 'fv>
откуда ( <р, для А ;> Хч,
следует, что ?(Х)<рч = 1 . Мы можем достичь и ||<pvll =1. Из
(0 для Х<Х"_,
сказанного следует, что (<р^, <pv) = 0 для р. Ф v. Тем самым функции
<Pi,..., <р", образуют ортонормированную систему и мы можем расширить ее
до полной <р,....<р", <рл+1, ...
Выполняется (v = 1, ..., п)
со \ \
M?J* = J X2rf[|?(X) <fv|[2= J X*d||?(X)T,||*> J i*d||?(X)9J* =
\-i \-i
= t* (|| E (X,) <Pv II2 - II ? (Xv-1) Tv II2) = 62II Tv II2 = *2-
Следовательно,
П
> 2 Мт"1Г>"б2.
2 ii^ii2 =
p=i
^=1
= 2 (Л) = C2,
C2
что значит, что n -у . Таким образом, для | X | ^ г Е (к) вообще
может
С2
принять только <;2 •различных значений, т. е. меняется лишь конечным
числом скачков, между которыми лежат интервалы постоянства. Но это
значит, что при | X | > е имеется только дискретный спектр. Поскольку это
справедливо для всех г > 0, то и вообще существует только дискретный
спектр.
1 44 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Поскольку всё^-0, мы вправе переменить порядок суммирования
оо оо со /со
?")= 2 M(v Wla = 2u2Kv t)|:
[L-l [X, M = 1 M= 1 \[1= 1
ОО ОО
= 2Ю1Ю12=2Ю
V=1 V=cl
оо
Итак, и в этом случае 2 оказывается не зависящей от
(1=1
cpj, ср2 а именно равной сумме собственных значений. Поскольку
для системы срр ср2, ... она конечна, то, значит, она конечна и всегда.
Итак, Spur А опять окажется однозначным, только теперь конечным.
