Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
0^ II Л/ll2 - С2 • ||/||2 =
со со со
= / X2tf||?(X)/||2-C2 / rf||?(X)/p= J (Х2-С2)^?(Х)/||2.
- СО -со -со
Положим теперь f=E{-C-z)g. Тогда Е (к) f=E (Min (X, -С-e))g и,
следовательно, для Х>-С - е это константа, так что нам
- С-е
остается рассмотреть только J . В этом случае Е(к)
/ = Е (X) g и
- СО
X2 - С2Si (С-f-е)2 - С2 > 2Се, так что
- С - ?
0е? 2Се / rf[|?(X)^||2 = 2Cej|?(-C-e)^!i2,
- СО
|[?(-С-6)^||2^0, Е (- С - в) g - 0.
Таким же путем при f = g - E(C-\-s)g может быть показано, что
g-E(C-{-B)g = 0.
"6) Math. Ann. Bd. 69 (1911),
9] О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕН. ЗНАЧЕНИЙ 115
Тем самым, для всех г>0 будет Е(-С - е) = 0, Е(С-1- е) = 1. т. е. Е(Х) =
0 при Х<-С и ?(л)=1 при X > С. (В силу 52. последнее выполняется еще и
для X = С.) Итак, Ё (X) изменяется лишь в интервале -
Обратно, из этого как следствие вытекает непрерывность Л:
оо С С
||Л/||2= /X2rf||?(X)/|j2= fx*d\\E(X)f\\^C*. J d|[?(X)/||2 =
- со -С -С
оо
= С*. Jrf||?(X)/||2 = C2. ll/ll2, IIЛ/И^С
- Ср
Мы видим таким образом, что все непрерывные А исчерпываются разложениями
единицы, изменяющимися лишь в конечных интервалах переменной X. Как же
обстоит дело для остальных не непрерывных эрмитовых операторов? Ведь
можно еще использовать все разложения единицы, изменяющиеся для сколь
угодно больших X, исчерпают ли они все упомянутые эрмитовы операторы?
Необходимо прежде всего правильно оценить то обстоятельство, что эти
операторы могут иметь смысл не повсюду.
Само по себе мыслимо, что какой-либо эрмитов оператор может оказаться не
определенным в тех точках гильбертова пространства, в которых это можно
было бы сделать разумным образом. Так, например, наш оператор А' = -^т-
был не определен для
f (q) = е~^К и мы могли бы даже Ограничить применением
только к аналитическим функциям (в интервале - оо < q < со, q-
вещественно)97) и так далее.
7) Даже / (q), аналитические в -оо< q<co j с конечными / \f{q)\2dq,
I I f (q) I2 dq, ... , всюду плотны в 9^. Действительно,
по 11.3, D. линей-
/
ные комбинации функций
Г 1 для а < q < b, fa, b(q) = " " й
(. U в остальной области
расположены всюду плотно. Следовательно, достаточно аппроксимировать их
произвольно близко при помощи упомянутых выше /(g). В самом деле,
например,
/W . (п) L . 1 th (x - a)(x-b) _ 1
3 а,Ь\Ч) 2 2 е - 2{х-а){х^Ь)
6 S +1
будет функцией искомого типа и сходится к /а,ь{Я) ПРИ ?-> + 0.
8*
116 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Область определения уже застрахована от слишком произвольных сокращений
требованием того, чтобы она была всюду плотной. Далее, мы можем
ограничиться замкнутыми операторами. Все же еще и это не достаточно
эффективно. Действительно, возьмем, например, оператор А'= ~2в интервале
O^^^l и предположим, следовательно, что / (<7) всюду дифференцируемы, а
интегралы ^ \f(q)\2dq С
и I |/'(<7)|2rf<7 конечны. Чтобы А' оказался эрмитовым, надо еще
о
наложить граничное условие /(0) :/(1) == е~'а (0 < 2ъ)\ пусть
множество этих f (д) называется 2la, а сам А' называется Д'. Рассмотрим
далее еще граничное условие /(1) =/(0) = 0 и назовем соответствующее
множество ЭД°, а соответственно ограниченный оператор А' назовем A'Q. Все
Д' суть продолжения Дд (который эрмитов, и область определения которого
всюду плотна98)) и, следовательно, и замкнутые Д' также суть продолжения
Д'. Все они отличны один от другого и от Д^. Действительно, явно
унитарная операция / (<7) -> e^Qf (<7) преобразует Д' в Д'+-Ц-1 и в
3ta+p, 910 в 3(0; и, значит, Д' в Д'_р+|11, А'й в Д^ + -^-1; и, значит,
Д' в -1-1 и Л' в Дд-)-^-1. То есть из Д' = Д' следовало бы, что Д'_р==Дд,
т. е. все Д^ были бы равны между собой. Тем самым достаточно показать,
что Д' Ф Д' при а Ф 7, а это заведомо так, если Д', Д' не имеют общего
эрмитова продолжения, т. е. если А' не эрмитов в соединении Sta и 31 .
Поскольку eiaq принадлежит к Sta, е^9 принадлежит к I, и
(ДУ°?, e'w)-(""", д7(tm)) =
1 1
= la f ei{a-^)9dq-^ f ei(a~l)9dq =
о
ei(a-^/(a -T)rf? = e,(e-1()-1 ф0,
о о
1
I
о
98) Опять достаточно аппроксимировать функции /"(,(?)> 0ga<igl при помощи
функций из 21°. Например, для этого можно воспользоваться функциями ,
111 (х-а-е)(х-Ь+г) )
Ja,b(q>- 2 ' 2 ( ? АГ(1 - X) J
с е, стремящимся к -(-0.
9] О СУЩЕСТВОВАНИИ решения проблемы собствен, значений 117 то именно этот
случай имеет место. Это означает, что замкнутый эрмитов оператор А'0
определен в слишком ограниченной области, так как существует его истинное
(т. е. отличное от него самого) замкнутое эрмитово продолжение А'а и при
этом процесс расширения бесконечно многозначен, так как можно
воспользоваться каждым из А' и любой из них будет порождать иное решение
проблемы собственных значений. (Каждый раз мы будем иметь чисто
дискретный спектр, но он зависит от а: набор h + . k = 0, + 1, ±
2,...).
С другой стороны, с помощью самого оператора А'0 мы вообще не можем ждать
никакого разумного решения проблемы собственных значений. В самом деле,
