Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
Тем самым мы обосновали обращение со шпуром в обоих случаях. Получим еще
несколько результатов, относящихся к шпуру Spur (И) и к Е(И).
Для всех А с конечной Е (А) выполнялось
ЦЛ/11 <УЁМ). II/II, для всех дефинитных (эрмитовых) А с ко-
нечным шпуром - |j И/||^ Spur(H) • II/H. Пусть теперь А - дефинитный
оператор, Spur (И) =1 и для соответственно подобранной ср с |jcp|| = 1
||йср||21-е или (Иср, ср)^Л - е. Поскольку из-за (Ар, cp)^j|i4cpjj •
jjcp|j = ЦИсрЦ первое условие следует из второго (с (1-е)2^1-2е вместо 1-
е, значит с 2е вместо е), то достаточно рассмотреть только его.
Пусть ф ортогональна ср, jjc|>j| = l. Тогда можно найти полную
ортонормированную систему • • • с Xi = У' Х2== Ф- Следо-
вательно,
5 НИ !!2_f=^)<(SpurC4))2=l,
||А|>||8<2е. || А|>|| < УШ.
Для произвольной ортогональной к ср функции / отсюда следует ЦЛ/1К
1/2^11/11 ( для / = 0 это ясно, в противном случае ф = / j ¦
Если учесть еще, что (Af, g) = (f, Ag), то мы сможем сказать, что
М/. *)|</2М|/Н • |j^jj, если / или g ортогональна к ср.
Если теперь fug произвольны, то
/ = <*? + /', g=$y-)rg'.
где /' и g' ортогональны к ср, а а = (/, ср) и (3 = (g, ср). Таким
образом,
(АЛ ?) = *?(Л<р. ср)-)-а(Иср, g')+y(Af', cp)-J-(^4/'. g'),
ni шпур 145
следовательно, если положить (Лер, ер)=с,
К Af, *)-ф1<1"1 • |(Лер. g') I+IPI • I (Af, ер)|+|(Л/', g')\ и, согласно
полученным выше оценкам,
КАЛ ?)-соф|</Ге(|а| • II^II+ IPI • 11/1+ 11/1 • \\g'\\x </2Г.(|а| +
|1Я|)(|Р|+11^11)<
<2/ 21 • У |а|2+ ||/'||*1/|Р|*+ \\g'\\2=^V^ ¦ 11/11 • \\g II-
С другой стороны,
(дл g)-ca?=(Af' g)-c(/< ?)(?> g)=((A-ср\ч\) f> g)-
Поэтому всегда выполняется |((-<4 - сРвд)/. 2/2е - ll/ll • \\gII*
а значит, как мы знаем из II. 9, и
||(Л-сР,т1)/||<2у2е Для / = ер это дает (с = (Лер, ср) вещественно и 0):
|j Лер - сер||< 2 У 2s,
+ IIА<? - c<Pll + II Af II + 2 У 2s -(- 1 >
I + - \\А<? - ccPll + II А(РИ*> - 2 У 2s +(1 s),
1 - (s+2y2i)<c<l + 2y2i.
Поэтому
||(Л -Ры)/1|<||(Л - Рм)/1| + ||(С - 1) PMf || < <2 У 2~s • ||/1| + ((r) + 2
У21)||РМ/1| < (s + 4 У2г)|| /1|.
Итак, для s ->¦ О Л равномерно сходится к Рщ.
В заключение рассмотрим еще шпур Spur (Л) и Е(Л) в реализа-
циях Fz и Fs пространства 9^, (ср. I. 4 и II. 3), поскольку именно в них
будут получаться физические следствия.
В Fz ^множество всех (дгр х2, ...} с конечной 2 l + l2^ опе"
ратор Л описывается матрицей {а }:
оо
A{xv х2, ...} = {у1, у2, ...}, у = 2 Vv
(1=1
Векторы (1, 0, 0, (О, 1, 0, ...}, ... образуют полную орто-
нормированную систему cpj, ср2, ... и Лер(1={а1(1> a2il, . ..} =
СО СО
= 2VV следовательно, (Лер , <pj = a , \\А^\\2= 2|flP(J2* р=1 р=1
10 И. Нейман
146 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Отсюда сейчас же получаем
Spur (А) = 2 а, , Е(Л)= 2 |2.
[1 = 1 Р, v = l
В Fa (множестве всех определенных в 2 функций f (Р) с конечным
f\/(P)\*dv) мы рассматриваем только интегральные операторы
А / (Р) = fa (Р, Р') / (Р') dv'
(а(Р, Р') - определенная в 2 функция двух переменных, "интегральное
ядро", ср. Г. 4). Если <fi(P), ••• -некоторая полная
ортонормированная система, то
ии
Spur (A) = ^(A9vl (Я), (/>)) =
p=i
ОО
=S / Г /а (Л р,) {р,) dA ^dv
р = 12 1.2 J
и, поскольку всегда выполняется (теорема 7.{3.) из II. 2 в применении к
g(P) )
ОО
2 (7 в (П ?р (П dv'^ ср.1 (Р) = IW),
рь-1 \2
ТО
2( / 8 dv' J Ю (Р) = 8 (П
Spur (И) = f а(Р, P)dv.
Далее имеет место
ОО
Е(Л) = 2 / fa(P, P>)%(P>)dv>
(i= 12 2
значит из-за (теорема 7.f. из II. 2)
ОО ОО
2
dv,
2 f g(n%(P')dv' =2 f g{P')%{P')dv'
= f \g(P')\'2dv'= f \g(P')\2dv'
(isl 2
(i=l 2
И]
ШПУР
147
и
Е (Л) = J J \а(Р, Р')\2 dv dv'.
Мы видим, что операции Spur (Л) и Е(Л) производят то, что было достигнуто
в разделе I.4 ценой применения математически весьма рискованных
искусственных приемов: при переходе от Fz к Fs сумма
Мы продвинулись теперь в математическом изучении эрмитовых операторов
достаточно далеко. Дальнейшие сведения по этому предмету интересующийся
математической стороной читатель найдет в примыкающей литературе ш).
11в) Кроме упоминавшихся по ходу рассуждений оригинальных исследований
сюда в первую очередь относится статья Хеллингера и Теплица в
энциклопедии математических наук (ср. прим.33) на стр. 29).
СО
2 • • • заменяется интегралом
И = 1
ГЛАВА III КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
1. Статистические утверждения квантовой механики
Возвратимся теперь к анализу квантовомеханических теорий, прерванному
математическими рассуждениями главы II. До сих пор мы обсудили лишь, как
позволяет квантовая механика определить все возможные значения одной
определенной физической величины, энергии,- это будут собственные
значения оператора энергии Н, т. е. числа из его спектра. Напротив,
вопрос о том, что может она сказать о значениях других величин, равно как
о причинных йли статистических связях между ними, не был затронут. Теперь
нам надо заняться теми утверждениями теории, которые относятся к этим
проблемам. За основу примем волново-механический метод описания, так как
