Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
формулировкой Si.-S3, для эрмитовых операторов бросается в глаза. Вся
разница сводится к тому, что под интегралом вместо вещественного X,
пробегающего интервал - co<X<-j-oo, оказывается комплексная величина
е2к1а, пробегающая окружность единичного радиуса (уже в 3t" соотношение
эрми-товость - унитарность было глубоко аналогично соотношению
вещественная ось - контур единичного круга; ср. прим.100) на стр. 118), и
что описание области определения оператора в S3, здесь оказывается
излишним, поскольку унитарные операторы определены повсюду.
В силу Si., Е (а) / -> Е (0) / = 0 при а^О (поскольку о>: 0 по самой
своей природе!), в то время как при а->1 (так как о < 1!) не обязательно
должно быть Е (а) / -> Е (1) / = /. Если это в действительности не
выполняется, то Е (а) терпит разрыв как раз в точке о=1. Но поскольку
существует проекционный оператор Е' такой, что для а->1, а< 1, E(c)f->E'f
(ср. теорему 17. в II. 4, а также прим.79) на стр. 94), это означает, что
Е'фЕ( 1)=1,. т. е. что E'f = 0 также имеет решения /ф 0. Поскольку
Е(а)^Е',
|01) Доказательство этих фактов смотри в работе автора, цитированной в
прим.78). стр. 91, а также у A. Wintner'a: Math. Z. Bd .30 (1929).
Абсолютная сходимость всех интегралов J / (о) d (Е (а) /, g) с
ограничен-
о
ными / (о) доказывается так: Достаточно рассмотреть вещественную часть Re
(Е (о) /, g). поскольку замена /, g на if, g превращает ее в 1ш (Е (а) /,
g).
Но так как Re (Е (о) /, g) = (д (о) /±? , -- (д (о) ,
то достаточно исследовать только (Е (о) /, /). Но в интеграле
J / (о) d (Е (о) /, /) подынтегральное выражение ограничено, а функция о
о
под знаком дифференциала монотонна. Таким образом, утверждение очевидно.
120
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
то из E'f = 0 следует, что E(a)f = 0 для всех а<1. Обратно, по
определению Е' первое следует из второго. Если все Е (a) f = 0 (а < 1),
то мы убеждаемся совершенно так, как в начале раздела II. 8, что (Uf, g)
= (f, g) для всех g и, следовательно, Uf - f. Напротив, если Uf = /, то
1
f e2"°d(E(a)f, f) = (Uf. /) = (/. /),
о
1 1 Re f eM'd(E(o)f. /)==(/, /), f( 1 - cos(2ua) )d(E(o)f, f) = 0,
0 0 1
J* (1 cos (2ua)) rf (ЦЕ (a) /1|2) = 0.
о
Отсюда, совершенно так же, как в начале II. 8, мы получаем Е(а) /== 0 для
всех a < 1 (и >0, но это выполняется и для а = 0). Тем самым разрыв
непрерывности Е(о) при а=1 означает, что Uf = f разрешимо при / Ф 0.
Для наших кэли-образов U будет теперь ср = Af-\-if, U<p = Af - if и из
Uср = ср таким образом следует, что / = 0, ср=0. При этом E(a)f-^-f
должно выполняться также и для а->1. Вследствие этого с помощью
отображения
g2%h , j j
^ = - i = -ctguo, а - - - arcctg X
(которое отображает друг на друга однозначно и монотонно интервалы 0 < а
< 1 и -оо<Х<-|-со) мы можем получить из Е(а) разложение единицы для F (к)
в смысле Si,, S2,
(С.) F(k)=E^- 1 arcctg х), Е= F(- ctgiw).
Мы хотим теперь показать, что F(к) удовлетворяет условию S3. с оператором
А тогда и только тогда, когда Е(а) удовлетворяет условию S3. с оператором
U и таким образом свести вопрос о существовании и единственности решения
проблемы собственных значений эрмитова (возможно не непрерывного)
оператора А к тому же
вопросу в отношении унитарного оператора U. Последняя же задача,
как было описано, в желаемом смысле решается.
Итак, пусть А - эрмитов оператор и U - его кэли-образ. Для
начала рассмотрим случай, когда U унитарен, так что для него существует
Е(а), удовлетворяющая условиям S\., S2. так же, как и S3.. Образуем
теперь F (к) согласно (С,), тогда для него выпол-
g] О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕН. ЗНАЧЕНИЙ 121
няются Si., S2. • Если Af имеет смысл, то Af-\-if - ср, Af-if = U9 и,
следовательно,
/_ 9- Uf и,_ 9 + ^9 / - 2; ' л/ - 2
Подсчитаем, в несколько символическом смысле102),
/ = -57 (<Р- **р) = -5Г (<Р - / ^ dE (о) *?) = / - dE
\ о /о
1
E(p)f = J -------------d(E(o)E(a') ср) =
О
1 о-
с 1 ,,2raV у1 1_
= у 21 (min (а' а/) ) ^ = J '¦ 2i dE(а')Ср'
о о
а
||?(а)/||2 = (?(а)/, /)=/ 1 d(?,(оОср, /) =
О
f Х-еЫ*' -------------------------
= / ±-^-d{E(o')f, ср) =
О
= / (1 } 41 ¦ ' - rf (\\Е (аО ср II2) = f sin2
(тса') tf (|| ? (а') срЦ2).
1И) Мы применяем здесь интегралы Стильтьеса к элементам вместо чисел. Так
что все наши соотношения должны пониматься в том смысле, что мы выбираем
некоторое фиксированное g из и вместо каждого элемента 9}^, появляющегося
в вычислениях, подставляем его внутреннее произведение с этим g.
Соотношения выполняются для любых g. В противоположность операторным
интегралам Стильтьеса в II. 7 это лишь наполовину символический процесс;
вместо одного g из мы должны были там выбирать /, g - два произвольных
элемента из 9^ и вместо (..., g) должны были образовывать (.../, g)
(точки стоят вместо операторов).
122 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Следовательно, входящий в Sj. интеграл есть
со 1
J X2d||F(X)/||2 = J ctg2(ira)rf||?'(a)/jj2 =
- со О
