Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 52

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 145 >> Следующая

действительно показывает, что оно приводит в рассматриваемом примере к
кривой Пэано или родственным ей образованиям.
что
F(s(qv q2)) = qv G(s(qv q2)) = q2m).
m) Ha qj, думножестве лебеговой меры 0 были бы допустимы ис-
ключения!
112) Ср., например, прим. 45) на стр. 41.
136 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
11. Шпур
Мы хотим определить здесь некоторые важные инварианты операторов.
Для одной матрицы {а^} из таким инвариантом будет шпур
ft
2 а|л|л- Он унитарно-инвариантен, т. е. не меняется, если преобра-p=i
зовать {а^} к другой (декартовой) системе координат113). Если же заменить
матрицу {а^} соответствующим оператором
П
A\*i = (Mi........................Уп)' iv= 2
v= 1
то элементы выразятся через А следующим образом. Векторы
{1. 0. •••.0}. ?2={0- 1.............0}...<ря = {0. 0............1}
образуют полную и нормированную ортогональную систему, и, очевидно, =
(Лср", ср^ (ср. И. 5, в особенности прим. (r)°) на стр. 75).
П
Итак, шпур выражается формулой 2(Д<р , ср ), и его инвариант-
и=1
ность утверждает, что его значение будет одним и тем же во всякой полной
нормированной ортогональной системе.
Такое образование понятия шпура можно немедленно перенести по аналогии в
9tra: если А - линейный оператор, то мы выбираем
ш) Матрица {а^} представляет преобразование (т. е. оператор)
П
0х = 1" ср. выводы в II. 7). Если мы будем преобразо-
V- 1
вывать координаты по формулам
п п
== **][* = (м- = 1* • • *1 Л)>
то из этого получится
п
== (М1 = 1" • . *1 л)
1
с
п
V = 2 V = 1.....Л)*
р" а- 1
где {а^ч} - преобразованная матрица. При этом, очевидно, будет
я я^_ / л _ \ п
2 = 2 apaxv-pxv-o - 2 ap° ( 2 xwx\L31 ~ 2v
(1=1 [i, p, 0 = 1 p, 0=1 \p.= l / P=1
т. e. шпур останется инвариантным.
н] шпур 137
какую-нибудь полную ортонормированную систему (рр ср2, для которой все
Аср^ имеют смысл (этого, безусловно, можно добиться, если область
определения А всюду плотна-достаточно взять в ней плотную
последовательность /р /2, ... и ортогонализировать ее
ОО
с помощью теоремы 8. из II. 2) и полагаем Spur (Л) = 2 Т^)-
Надо показать, что так образованная величина действительно зависит только
от А (но не от ср^!).
Для этой цели введем сперва две полные ортонормированные системы срр <р2,
... и фр ф2, ... и положим
ОО
Spur (Л; <р, <10= 2 (^V WOK. ?,*)•
JX, V = 1
Из теоремы 7. раздела II. 2 следует, что это выражение равняется
ОО
2 (Лер , <р ), т. е. зависит от ф" только кажущимся образом. Далее р=1
т. е. Spur (Л; ср, ф) = Spur (^4*; ф, ср). Поскольку правая часть
зависит, согласно сказанному выше, от ср^ только кажущимся образом, то
это же должно быть справедливо и для левой: она зависит, следовательно,
только кажущимся образом и от ^ и от ф,, в действительности же есть
функция только от Л. Поэтому мы можем обозначать Spur (Л; ср, ф) просто
как Spur Л. Поскольку он равен
ОО
2 (Лер , ер ), то желаемое доказательство инвариантности завершено.
i"-=i ____________________
При этом из последнего равенства следует еще и Spur (Л) = Spur (Л*).
Соотношения
Spur (а Л) = a Spur (Л), Spur (Л ± В) = Spur (Л) ± Spur (В)
очевидны. Далее, выполняется (и для некоммутирующих Л и В) соотношение
Spur (АВ) = Spur (ВА).
Оно доказывается так:
ОО ОО
Spur (ЛД) =2(71^ ?1J=2(fiv 71 V =
[Х=1 ^ ^ p.= l г ^
со оо
= 2 (я<рц. Ф,)(Ф,. л>) = 2 , Ф|1)(Лфу, 9 ),
!>., v = l r r p., V = 1 г г
138 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
где ср,, ф2, ... и фр ф2, • • • можно считать двумя произвольными полными
ортонормированными системами, и симметрия последнего выражения в Л и В
(при одновременной перестановке ф и ф) очевидна. Таким образом, для
эрмитовых операторов Л и В:
Spur (ЛВ) = Spur ((ЛВ)*) - Spur (В*Л*) = Spur (ВЛ) = Spur (ЛВ),
следовательно, Spur (ЛВ) веществен (для шпура Spur (Л) это естественно
так).
Если - замкнутое линейное многообразие, а В- его проекционный оператор,
то Spur (В) определяется следующим образом. Пусть ф,, ..., фА -
ортонормированная система, на которую натягивается линейное многообразие
ЯК, а ул - система, растяги-
вающая 91^ - ЯК (естественно, что или k, или I, или же оба они
бесконечны). Тогда ф, фА, Xi Xi растягивают в совокупности все т. е.
образуют полную ортонормированную систему {теорема 7. а. из II. 2).
Поэтому
Spur (В) = 2 (?+"¦ V + = Фр)+.2(0. Х") =
k
= 2i=a.
ii=i
т. е. Spur (В) равен числу измерений многообразия ЯК.
Если оператор Л дефинитен, то все (Лф^, ф^)^0 и, следовательно, Spur Л
^0. Если при этом Spur (Л) = 0, то должны обращаться в нуль и все (Лф^,
ф^), и поэтому Лф[1 = 0 {теорема 19. из II. 5). Если ||ф||=1, то можно
подыскать полную ортонормированную систему фр ф2, ... с ф, = ф (если
последовательность /р /2, ... всюду плотна, то мы "ортогонализуем" ф, /,,
/2, ...-ср. доказательство теоремы 7. в II. 5-, благодаря чему возникнет
начинающаяся с ф полная ортонормированная система), следовательно, будет
Лф = 0. Если теперь / произвольна, то для / = 0 конечно будет Л/ = 0, для
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed