Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
случая же / Ф 0 то же следует из предыдущего,
если положить ф = -уyjf/• Итак, Л = 0. Это значит, что если Л
дефинитен и ^=0, то Spur Л >0.
При всей краткости и простоте наших рассуждений относительно шпура,
математически они не безукоризнены. Действительно, мы рас-
С" СО
сматривали ряды 2 (Иф", ф,)(ф,. 9") и 21 (Иф", ф") не обращая
(I, v=l а=1 р
внимания на их сходимость, преобразовывали их друг в друга (меняли
порядок суммирования) - короче, делали все, что при корректном обращении
делать нельзя. Хотя неряшливость такого рода допу-
и] шпур 139
скается в теоретической физике и в других случаях, и хотя данная
небрежность и не приведет в дальнейших применениях к квантовой механике
ни к какой беде, - надо все-таки ясно заявить, что дело идет о
неряшливости.
Тем существеннее подчеркнуть, что в основных статистических утверждениях
квантовой механики используется только шпур операторов АВ, если и А и В
оба дефинитны, и что это понятие может быть обоснованно и совершенно
точным образом. Поэтому в оставшейся части параграфа мы установим те
свойства шпура, которые доказываются с абсолютной математической
строгостью.
Рассмотрим сперва шпур произведения А*А (А - произволен, А*А в силу II. 4
эрмитов и вследствие (A*Af, /) = (Л/, Л/)^>0 дефинитен). Мы имеем:
СО СО 00
spur(,4M)= 2(лм<р, (P|x) = 2(^v Av.)- 2
р.= 1 JJ. = 1
Поскольку этот ряд содержит лишь члены ^ 0, то он либо
сходится, либо расходится к -f-oo, т. е. в любом случае
имеет смысл.
Покажем теперь независимо от предыдущих рассуждений, что его
сумма не зависит от выбора <pj, <р2............ При этом мы
встретимся
лишь с рядами, все члены которых sgO, поэтому все будет иметь смысл и
любое изменение порядка суммирования будет дозволено.
Если cpj, ср2, ... и 4"i" ф2. •••-Две полные ортонормированные системы,
то определим
2 О4; v <м= 2 |(Ар. |2.
|А, ve 1
СО
Согласно теореме 7. f. из II. 2 это выражение равняется 2lM'fJi2>
(i=i
т. е. ?(Д; ср^, (]0 зависит от только кажущимся образом. Далее (как Ау ,
так и должны иметь смысл),
СО со
2(Д; V ф,)= 2 |(^v Wl2 = 2 Kv ^Ж)12 =
|А, V = 1 |А, v= 1
= 2 1№- <рЛ2 = ?(Д*; <]>,. <?").
\).t V = 1 '
Поэтому зависимость от (р^ тоже только кажущаяся, поскольку так обстоит
дело для крайнего правого выражения. Тем самым оказывается, что Е(Л; ср^,
(Jiv) зависит вообще только от А, и мы назовем ее ?(Л). Согласно
доказанному выше,
СО со
ад=2iiapji2= 2 кл,. wi2
(J.= l (l, v=l
140 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
и Е(Л) = Е(Л*). Таким образом, Spur (Л*Л) определяется заново (и теперь
корректно) как Е (Л).
Докажем еще независимо некоторые свойства Е (Л), которые следовали бы и
из уже выведенных общих свойств шпура.
Из определения следует, что всегда Е(Л)>0, а для Е(Л) = 0 должны все Лср^
= 0, откуда, как и раньше, следует, что Л = 0. Это значит, что для Л ф 0
будет Е(Л)>0.
Ясно, что Е (аА) = |а |2Е (Л). Если А*В - 0, то выполняется:
||(Л-(-В)ср11||2- ЦЛсрЛ2- WBy^ - iA^, BvJ + (Вср^, Лср11) =
= 2 Re (Лер,,., Bfy) = 2 Re (ср^, А*В%) = 0,
ОО
следовательно, после суммирования 2:
p-=i
2(Л + В) = Е(Л) + Е(В).
Это соотношение не изменится, если переставить в нем Л и В.
Следовательно, оно будет справедливым и для В*А - 0. Далее, мы можем
заменить Л, В на Л* и В*; следовательно, в равной степени достаточно и
условий АВ* - 0 или ВА*~ 0. Для эрмитова Л (или В), мы можем поэтому
написать ЛВ = 0 или ВЛ = 0.
Если Е - проекционный оператор замкнутого линейного многообразия 5DJ, то
для рассматривавшихся при определении шпура Spur (В) функций
^...........ф*. Xi......Хй
S(B)=i цв^||2+2 l|?XJ2=iliiU2+2 l|0|i2=ii=A.
y-= 1 p.ssl {1=1 {1 = 1 {1=1
Иными словами, и E (В) оказывается равным числу измерений М (из-за Е*Е -
ЕЕ - Е ничего другого и нельзя было ожидать).
Теперь, к Е можно свести Spur (ЛВ) для двух дефинитных (эрмитовых)
операторов Л и В. Именно, существуют два таких же оператора А', В' со
свойством А'2 - А, В'2 - Вш) - мы назовем их У А и У В. Чисто формально
пишем:
Spur (ЛВ) = Spur (У А У А У В У В) == Spur (У В У~А У А У~В) = = Spur (
(У А У В)* (У А У~В) ) = Е (У А У~В).
1М) Точно это утверждение формулируется так: Если А гипермакси-мален и
дефинитен, то существует один и только один такой же оператор А' с Л/2 =
Л. Докажем существование.
ill шпур 141
Теперь эта Е (]/ A У в) обладает, - на основании собственного определения
и без какого бы то ни было учета связей со шпуром, - всеми свойствами,
которые мы ожидаем для шпура Бриг(ЛВ)- именно:
Е (У А Ув) = Е {У В У А), Е(УА УВ+С) = Е(УА Y~B) + Е(УА /С), Е(VA-+-B УС)
= Е(УА УС) + Е(УВ УС).
Первое следует из того, что E(A'Y) в X и Y симметрично:
ОО ОО
Е (XY) = 2 |(*KV ф,)12=* S КЧ>
p., V=1 p., V = 1
второе следует с помощью первого из третьего, следовательно,
остается доказать лишь его, т. е. что Е (У А У13) аддитивна в А.
Пусть А = J ME (X) - представление оператора А через его соб-
- ОО
ственные значения. Поскольку А дефинитен, то Е (X) для X < 0 постоянно
