Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 47

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 145 >> Следующая

следует, что / Ф g, т. е. отображение однозначно. Верно также, что (/, g)
= (Uf, Ug), что доказывается совершенно так же, как в конце II. 5
доказывается аналогичное соотношение для унитарных операторов.
Следовательно, U оставляет также неизменными все внутренние произведения.
Но унитарным U будет, конечно, тогда и только тогда, когда (c) = g = 9(co.
Если А и В-два замкнутых эрмитовых оператора, U и V - их кэли-образы, а
вышеописанными множествами будут соответственно (c), g и (c), ф, то сразу
видно, что если В есть истинное продолжение А, то и V есть истинное
продолжение U. Следовательно, (c) есть истинная часть (c), g - истинная часть
ф. Следовательно, (c)=/=91^, g Ф 9^. Значит, U не унитарен и проблема
собственных значений А неразрешима. Так мы доказали неоднократно
упоминавшуюся прежде теорему: Если проблема собственных значений А
разрешима, то не существует истинных продолжений А, т. е. А максимален.
Вернемся теперь к замкнутому эрмитову оператору А с его (c), g и U. Если Af
имеет смысл, то для Af -\- if = ср (/ср тоже имеет
смысл и, именно, Af - г/ = (/ср, -следовательно, / = -^-(ср- (/ср),
Л/ = у(ср-|-(/ср), т. е., если мы положим ф=-^т-ср, то / = ф-(/ф,
Л/ = /(ф + (^ф). Наоборот, для / = ф - (/ф, разумеется, определено Af\
так как поскольку (/ф имеет смысл, то ф = Af' -\-if' (Af' определено !),
(/ф = Л/г - if' и, следовательно, / = ф-(/ф = 2г'//. Область определения
А есть, таким образом, множество всех ф-Uф и, при / = ф - Uф, Л/ = /(ф-(-
(/ф). Тем самым А тоже однозначно определяется по U (так же, как (c) и g).
Одновременно мы убеждаемся, что множество ф - Uф должно быть всюду плотно
(как область определения А).
Пойдем теперь в обратном направлении, начиная с двух замкнутых линейных
многообразий 6, g и линейного изометрического (/, отображающего (c) на g.
Существует ли эрмитов оператор А, кэли-образом которого является этот (/?
Во всяком случае для этого
126
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
необходимо, чтобы <]> - Uty были, всюду плотны, так что это
предполагается. Искомый оператор А определяется тогда, согласно только
что сказанному, однозначно, и остается открытым лишь вопрос о том,
возможно ли такое определение, будет ли этот А в действительности
эрмитовым, будет ли U в действительности его кэли-обра-зом. Первое,
несомненно, справедливо, если / однозначно определяет ср (когда оно
вообще существует) через соотношение / = ср - Uср, т. е., если ср = ф
следует из ср -(Jср = -LAji или <р=0 следует из ср- Uср=0. В самом деле,
положим ср - Uср = 0. Тогда из g = ty- t/<]> следует, что
("р. *) = (?• +)-(?. Uty = (U<f. t/ф)-(ср. t/<|0=(t/cp-ср, и^) = О,
и, поскольку эти g всюду плотны, то ср = 0.
Во-вторых, нам нужно доказать, что {Af, g)={f, Ag), т. е. что {Af, g)
переходит в комплексно-сопряженное выражение при замене / и g. Положим /
= <р - t/cp, g = <]> - тогда Af = 1 (ср-t/cp) и
{Af, g)={i (cp+t/cp), ф-г/ф) =
= /(cp, cji) + /(t/cp, ф) - /(cp, Щ) - /(t/cp, Щ) =
= /[(t/<p, Ф) - (t/ф, cp)] = /(t/cp, i]i)+ /(?/<]>, cp)
и последнее выражение, очевидно, ведет себя желательным образом при
перемене мест / и g, т. е. ср и <j>.. Ответ на третий вопрос мы получим
следующим образом. Обозначим через V кэли-образ А. Его область
определения есть множество всех
Af + гУ = * (<Р + Uy) + i (ср - t/cp) = 2гср, т. е. область определения
U, и в этой области 1/ (2/ср) = 1/ {Af + If) = Af - if = i (cp + t/cp) -
i (cp - t/cp) = 2/t/cp,
т. e. Vcp = t/cp. Следовательно, V = U.
Таким образом (замкнутые) эрмитовы операторы А со всюду плотными ср -
(Jср соответствуют нашим линейным изометрическим U одно-однозначно, если
мы отнесем каждому А его кэли-образ U 104).
Ю4) чТобы проблема собственных значений А была всегда разрешима, из этого
должна была бы следовать унитарность U, т. е. условие d = g = или Как мы
вывели из существования не максимальных А, в это не так. Напротив, в это
должно выполняться, в чем легко убедиться и непосредственно: поскольку
каждое линейное многообразие в замкнуто, то то же будет и для
многообразия всех <р - Uy, и, поскольку оно всюду плотно, оно равно Шп.
(S-множество всех <р - имеет не меньшее число измерений, чем его линейное
отображение - множество всех <р- ?Лр, т. е. имеет максимальное число
измерений п. Последнее должно иметь место также и для g - линейного одно-
однозначного изображения 6. Но при конечном п отсюда следует, что @ = g =
9] О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕН. ЗНАЧЕНИЙ 127
Мы можем теперь обозреть все В - эрмитовы продолжения А, поскольку все V
- изометрические продолжения U можно найти без всякого труда (ср - V<?
автоматически повсюду плотны, так как ср - ?/ср- подмножество предыдущего
множества - всюду плотны). Чтобы оператор А был максимальным, U должен
быть тоже максимальным и наоборот. Если U не максимален, то (r) ф 91^, § =?
Из этих неравенств в свою очередь следует не максимальный характер U. В
самом деле, тогда 91^- (r)=0, - g Ф 0; поэтому мы можем
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed