Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
все Е(к) коммутируют со всеми /='(р) (это опять соответствующие им
разложения единицы) в старом. Для непрерывных R н S новое определение,
как мы уже знаем, совпадает со старым, напротив, для разрывных R или S
(или обоих) это при некоторых обстоятельствах не имеет места. Примером
последнего служит случай операторов R и 0: в старом смысле они не
коммутировали, а в новом - коммутируют, поскольку для оператора 0 каждое
Е{\>.) равно 0 или I108), следовательно коммутирует с Е(к).
Выше мы доказали, что если R и S - два коммутирующих (непрерывных)
эрмитовых оператора, то каждая функция г (R) оператора R коммутирует с
каждой функцией s (S) оператора S. Поскольку для R = S эта предпосылка
выполняется всегда, то две функции r(R) и s (R) одного и того же
оператора всегда перестановочны (это сле-
107) Поскольку (ср. II. 5) как R-1, так и 1-R имеют смысл тогда и только
тогда, когда имеет смысл R, то при аф 0 то же справедливо и для R-a 1, а\
• R. Таким образом, оба эти произведения равны друг другу, т. е. R
коммутирует с а-1. Тем самым коммутативность R с а-1 выполняется с
единственным исключением, а = 0, R определен не всюду. Это выглядит очень
неизящно и подсказывает нам изменение определения коммутативности.
108) Оператору а-1 отвечает, как легко вычислить, разложение еди-
ницы
9*
132 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
дует и из формулы умножения в конце II. 8: r(R)s(R) - t(R), если r(x)
s(x) = t (jc) ). Если г{х) и s(jc) вещественны, то, кроме того, r{R) и
s(R) будут эрмитовыми (в силу II. 8: если г(х) вещественна, то (г (R) )*
= г(Я) = г (/?)).
Справедливо и обратное утверждение: если А и В - два коммутирующих
эрмитовых оператора, то существует такой эрмитов оператор R, что оба они
будут его функциями: A - r(R), B = s(R). Можно утверждать и несколько
большее: если задано произвольное (конечное или бесконечное) множество
коммутирующих эрмитовых операторов А, В, С, .... то существует такой
эрмитов оператор R, функциями которого будут все А, В, С, ... Мы не можем
привести здесь доказательство этой теоремы и нам придется ограничиться
ссылкой на литературу вопроса10Э). Для наших целей понадобится эта
теорема только для конечного числа операторов А, В, С, .. . с чисто
дискретным спектром. Для этого случая она будет сейчас доказана,
относительно же общего случая мы сможем привести лишь некоторые
ориентирующие замечания.
Итак, пусть А, В, С, ... - конечное число эрмитовых операторов с чисто
дискретным спектром. Если \ - некоторое число, то назовем 8Х замкнутое
линейное многообразие, натянутое на совокупность решений уравнения Af -
\f\ соответствующий проекционный оператор назовем Ех. Число X тогда и
только тогда будет дискретным собственным значением А, когда существуют
решения / Ф 0. следовательно, для 8Х ф (0), что значит Ех Ф 0. Аналогично
мы образуем 9ЙХ и Мх для оператора В, ЭТХ и Ох для С, ... . Из Л/ = Х/
следует ABf = BAf = Д(Х/) = ХД/. Это значит, что вместе с / в 8Х входит и
Bf. Так как Exf всегда принадлежит к 8Х, то то же справедливо и для BExf\
тем самым ExBExf = BEJ. Это выполняется тождественно, следовательно,
Е^ВЕХ - ВЕХ. Применение •. приводит отсюда к ЕХВЕХ = ЕХВ. Следовательно,
ЕХВ - ВЕХ. Точно так же, как мы заключили сейчас из коммутативности А к В
о коммутативности В и Дх, из коммутативности В к Ех следует
коммутативность Ех и F . Поскольку А и В никак не были выделены среди
операторов А, В, С, .... можно утверждать, что все ?'х, F , Gv, ...
коммутируют друг с другом. Итак, К (Xpv* • •) = ?,x/7tlGv- • • -тоже
проекционный оператор; его замкнутое линейное многообразие назовем •
•.
Согласно теореме 14. (II. 4), $(X[av---) будет пересечением 8Х, ЗГО ,
10Э) Для двух эрмитовых операторов А и В, принадлежащих нашему
специальному классу (так называемых вполне непрерывных, ср. прим.70) на
стр. 82), Теплиц (ср., например, прим.33) на стр. 29) доказал теорему, из
которой следует сформулированная выше (именно, существование полной
ортонормированной системы из общих собственных функций операторов А и В).
Общая теорема для произвольных А и В или А. В, С, ... была доказана
автором в другом месте (ср. прнм.94) на стр. 110).
10]
КОММУТИРУЮЩИЕ ОПЕРАТОРЫ
133
5Rv т. е. совокупностью всех общих решений уравнений
Af = lf, Bf=pf, C/=v/, ...
Пусть X, р,, v, .,.. и X', р/, v', ... -две различные системы чисел, т.
е. X Ф X' или р, Ф р/, или v Ф Ф, .... Пусть / принадлежит к $(Xpv- • •)>
а f - к &(X'pV- • •). Функции / и /' ортогональны: для \ф\' из-за Л/ =
Х/, Af' = \f, для р Ф р' из-за Bf = )xf,
- Тем самым всё $(Xpv--) ортогонально ко всему
$ (Х'р V • • •).
Поскольку А имеет чисто дискретный спектр, то всё (рассматриваемое как
замкнутое линейное многообразие) натягивается на Йх. Поэтому f ф 0 не
может быть ортогональной ко всем Йх, т. е. по крайней мере для одного Йх
ее проекция в Йх должна быть =?0, т. е. Exf ф 0. Точно так же должно
существовать одно р с F^/Ф 0, одно v с йч/,ф 0, ... Вследствие этого мы
