Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
мы еще покажем дальше в этом разделе, что эрмитов оператор, принадлежащий
какому-либо разложению единицы (т. е. такой, для которого проблема
собственных значений разрешима), не имеет ни одного истинного
продолжения. Оператор, не имеющий никакого истинного продолжения, - иными
словами, уже определенный во всех тех точках, где его можно было бы
определить разумным образом, т. е. не нарушая его эрмитова характера,- мы
назовем максимальным. Значит, по сказанному, разложение единицы может
соответствовать только лишь максимальным операторам.
С другой стороны, имеет место следующая теорема: Каждый эрмитов оператор
может быть продолжен до максимального эрмитова оператора. (И притом
каждый не максимальный, но замкнутый оператор всегда бесчисленными
различными способами. Таким образом, единственный однозначный шаг
процесса продолжения - это "замыкание" А-> А. Ср. прим.95), стр.
95.) Поэтому наиболее благоприятным решением проблемы, на которое
мы вправе надеяться,
было бы: Каждому максимальному эрмитову оператору принадлежит одно и
только одно разбиение единицы. (Каждый замкнутый непрерывный оператор
определен повсюду в и является, следовательно, максимальным.)
Таким образом, следует ответить на вопросы: Всегда ли обладает
максимальный эрмитов оператор разложением единицы? Может ли случиться
так, что несколько разложений будет отвечать одному
и тому же оператору?
Мы начнем с того, что сформулируем ответы: Данному максимальному эрмитову
оператору не принадлежит ни одного или принадлежит точно одно разложение
единицы, причем первый случай реально встречается, т. е. проблема
собственных значений наверняка однозначна, но при некоторых условиях
неразрешима. Тем не
менее последний случай надо рассматривать ь известном смысле как
118
общие СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
исключение. Мы наметим в основных чертах метод, приводящий к этому
результату.
Если мы применим рациональную функцию /(X) к (бесконечномерной и
диагонализуемой с Помощью унитарного преобразования) матрице А, то
собственные векторы матрицы А сохранятся, а собственные значения Xj, ....
Х" перейдут в /(Xj), ..., /(X")ss). Если теперь /(X) отображает
вещественную ось (в комплексной плоскости) на окружность единичного
радиуса, то матрицы с лишь вещественными собственными значениями перейдут
в матрицы с собственными значениями, равными по модулю единице, т. е.
эрмитовы матрицы перейдут в унитарные 10°). Этим свойством обладает,
например,
/ (X) == . Соответствующее преобразование
и- А~п а - ,Е±±
A-\-i\ ' 1 U- 1
называется преобразованием Кэли (Cayley). Мы попробуем это преобразование
и для эрмитовых операторов в 9^, т. е. мы определим следующий оператор U
: Uf имеет смысл тогда и только тогда, когда / - (Л-|-П)(р= Ау-\-1у и
именно тогда Uf = (A- /1)ср = Лср - кр. Мы рассчитываем, что это
определение даст нам однозначное Uf для всех / и что U будет унитарным.
Доказательство в естественно не является более аргументом, поскольку оно
предполагает возможность преобразования к диагональной форме, т. е.
разрешимость проблемы собственных значений и даже с чисто дискретным
спектром. Но если наши утверждения относительно свойств U правильны, то
мы сможем разрешить проблему собственных значений А следующим путем.
Для U проблема собственных значений решается таким образом - существует
единственное семейство проекционных операторов
") Поскольку мы можем представить себе функцию /(X) апроксими-рованной
полиномами, то достаточно рассмотреть полиномы, или их основу, т. е.
степени / (X) = \s (s = 0, 1, 2, ...). Поскольку унитарное преобразование
здесь не играет роли, мы можем считать А диагональной матрицей; так как
диагональные элементы и суть собственные значения, то они суть Х[, Х2,
..., Х". Мы должны, следовательно, показать, что и As диагональна и что
ее диагональные элементы суть Xj, Х^, ..., \sn, но это очевидно.
i°°) чтобы убедиться в том, что эти свойства характерны для эрмитова или
соответственно унитарного характера матрицы, опять достаточно доказать
это для диагональных матриц. По отношению к диагональной матрице А
с элементами Хь ..., \п диагональная матрица А* с элементами Х[ Х"
есть сопряженная транспонированная; значит, А - А* утверждает, что
Х,=Х[ Х" = Х", т. е. что Хь ..., Х" вещественны. А АА* - А*А= 1
утверждает, что Х^ = 1, ..., ХЛХ" = 1, т. е. что | Х1 | = ... = | Х" | =
1.
g] О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕН. ЗНАЧЕНИЙ 119
Е(р) (O^a^l), удовлетворяющее следующем условиям:
51. Е(0) = 0, ?'(1)=1 и при a -> о0, a ^ а0 имеет место Е (а)?-± Е (aQ)
f.
52. Из а'^а" следует, что Е(а')^Е(а").
1
53. Всегда выполняется (Uf, g)= Г е2(tm) d (Е (a) /, g)
oJ
(U/ определено повсюду и интеграл в правой части всегда абсолютно
сходится101)).
Это доказывается в рамках и средствами теории Гильберта, что оказывается
возможным в силу того, что унитарный оператор U всегда непрерывен (см.
указанную в прим.64) стр. 78 и в прим.101) литературу). Аналогия с
