Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
каждый из коэффициентов равен своему собственному квадрату, т. е.
равен 0 или 1. Итак, 2 Л" является просто суммой нескольких
Р=1 Н>. а
Ер, которые можно назвать ?Ia Е1
n"
N.
2Р, = 2*,.в-
р = 1 *р, a v=l
Взяв шпур от этого равенства, получим Sa - a- / Поскольку,
V - 1 * /
a b
согласно сказанному выше, произведение сумм 2^" а и 2 Е*ь
V " 1 v=1
(афЬ) равно сумме слагаемых ?, общих обеим суммам, и поскольку,
%
с другой стороны, это произведение равно произведению сумм 2
Sb P = 1 ?• а
и 2 > которое обращается в нуль, то сумма общих ? равна 0.
p = i \ ь
Итак, общих слагаемых нет, потому что сумма нескольких ? , т. е.
нескольких Рш , никогда не исчезает**). Наконец, ?va исчерпывают Ер
(до сих пор мы знали только, что они образуют взаимно однознач-
ную систему индексов некоторого подмножества), что, согласно только что
сделанному замечанию, будет гарантировано, если только
N
СО 1У а СО
будет доказано равенство 2 2 а ~ 2 Ер- Левая часть является
а-1 v - 1 ' р=1
суммой всех ?Vj(l, т. е. всех , т. е. 1 (в случае полной орто-
гональной системы jfj, • • • сумма всех Рх^ равняется 1 ***), а <рр a
образуют полную ортогональную систему); правая часть является суммой всех
Ер, т. е. суммой всех Рш^ , т. е. тоже 1 (шх, Р также
*) Это будет доказано, если мы сможем показать, что для произвольных двух
(но различных) элементов <р, <\> некоторой ортогональной системы функций
имеют место соотношения Р& = Р, />^ = 0. Пусть /-какая-нибудь волновая
функция, тогда (ср. введение, 3.)
РУ = ((/. 9) • 9> 9) • 9 = (/. 9) ¦ (9. 9)' 9 == (/¦ 9)' 9 = V'
РчР^ = ((/> Ф)' 9) • 9 = (/. Ф) • (Ф. 9) • 9 = 0.
**) Из Рш, -|- Рю" -f- ... = 0 (<¦>', (о", ... взаимно ортогональны),
если умножить его на Рш,, следует равенство Рю, =0, что заведомо неверно.
***) Если привлечь матричное определение оператора Р (введение, 3.), то
можно убедиться, что это тождественно обычной форме соотношений полноты.
Ср. также 1. с., прим. *) на стр. 330,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И Я-ТЕОРЕМЫ 341
образуют полную ортогональную систему), - вместе с тем все доказано.
Таким образом, ?ч>я, sv>a с а= 1, 2, .... v=l Na - это
просто заново перенумерованные ?р, sp с р- 1, 2, ... Соответственно будем
писать шх, ч, а вместо шх, Р• Положим
Na
= 2 а-
р = 1 VP. а "=1
Как видно, -Q-Да является смесью состояний ср. ,
О/j °
сами 1 : 1 /г
о ?1,
1, а
сами s
1. а '
1 или 1 _
*N*a = V.,
•'Ч.
выше
с ве-
смесей
же смесью обсуждавшихся -ы , а< соответствующих фазовым ячейкам с ве-
Вполне понятно, с другой стороны, что является аналогом этих
представлений в гиббсовой теории: Аа соответствует энергети-
а
ческой поверхности, т. е. микроканоническому ансамблю, Na является числом
фазовых ячеек ?v> а на энергетической поверхности и Sa = = SpurAa
является числом истинных состояний, т. е стационарных квантовых орбит на
энергетической поверхности.
Макроскопически возможные измерения энергии разбивают тем самым множество
мыслимых состояний на энергетические поверхности, соответствующие Аа, а =
1, 2, ...; дальнейшие измерения энергии
(которые разбили бы Аа на ерр а, р = 1 Sa) с этими средствами
невозможны. Если же дальнейшие измерения все-таки макроскопически
возможны, то они должны относиться к таким величинам, операторы которых
не коммутируют с Н, т. е. к величинам, которые не могут быть измерены
одновременно (с микроскопической) энергией. На классическом языке это
означает, что они относятся к неинте-гралам движения, к изменяющимся во
времени величинам *). Эти измерения разбивают энергетическую поверхность
Аа на фазовые ячейки ?4i а, ^=1, ..., Na. Дальнейшее разбиение (которое
разбивало бы ¦?" а на шх, V, а' ^ = 1, • • • • s-,, а) макроскопически
вообще невозможно.
Тем самым величина Na является мерой того, насколько сильно пересекаются
макроскопические методы измерения величин, неизмеримых одновременно с
энергией, т. е. в какой мере неточность макроскопических измерений
энергии обусловлена естественным образом
*) Например, в случае газа, заключенного в сосуде К, полная энергия
молекул, находящихся в левой половине К, с известной точностью
макроскопически измерима, но она не является интегралом и колеблется во
времени,
342 ДОПОЛНЕНИЕ
соотношениями неопределенностей. Напротив, величина s4i а (т. е. величина
фазовых ячеек а) является мерой неточности макроскопических методов как
таковых, т. е. вытекающей из их неполноты. Неточность, связанная с JVa,
компенсируется знанием неинте-гралов, она не является слабой стороной
нашей измерительной аппаратуры, но зато неточность, связанная с s а,
таковой является.
Na
Наконец, а является мерой для произведения обеих не-
\l= 1
точностей: для полной, настоящей неточности измерения энергии.
3. Пусть теперь задано произвольное состояние ф (волновая функция ф
нормирована, т. е. |ф|2 -(ф, ф)=1). Вероятность того, что при
макроскопическом измерении в этом состоянии будет получено значение из
фазовой ячейки а, равняется, как известно, сумме вероятностей переходов
