Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
В силу f~2" ~Ь 2Т3" "t- ... = 1, сумма последних членов по абсолют-
sv, аиа r 5. , I2
ной величине ^ - --- z - 1 , поэтому можем написать
"За 1Ж. gllg J
-=C Г^ _ 5v> "P
t a^a L J
Чтобы доказать это для остальных значений z, сравним левую часть
5 IX
(без | ... |) с половиной правой. Для z = -а- обе исчезают, вообще же
производные равны
346 ДОПОЛНЕНИЕ
Первое выражение, очевидно, всегда 2= второго и Щ 0 для
z %. а"-, поэтому левая сторона Щ, чем половина правой для а
¦у - s'1' aM.g., но она всегда =^0. Тем самым имеем всегда
Sa
¦ z In --
\z - - v'a"a f. 5v, aua L *->a J
Положим теперь z~x^a и просуммируем по всем v=l Na;
"а
В силу2^,а = 5а- 2 a = "а ПОЛуЧИМ
?*1
N" N"
a a es
Sa Г .. I
0< и In -4-Vjc in -~a с V ¦ Гjc -s>' aUa 1
U= "aln5a Sv a Sv aUa[^,a S<j J
"=1 v-1
Если теперь просуммировать еще по a=l, 2, то будет
оо Na
0SS(",)-S(WSS
а= 1 1
Эта оценка позволит нам доказать //-теорему. Перейдем теперь к
эргодической теореме. Окажется, что и для нее дело сведется к оценке того
же выражения.
2. Пусть А- макроскопически наблюдаемая величина, т. е.
л=2 Е'Ъ.Л.а-
а-1 v=i
Функции to,, v, а фазовой ячейки ?v>a являются собственными функциями А,
соответствующими собственным значениям 7]v a, т. е. т/ является значением
А в фазовой ячейке ?Vi(J.
В состоянии ф, и в микроканоническом ансамбле величина А
будет иметь математические ожидания
со Nа со Na
Щг ф()=2 2 'Ь)=:2 ilA,
а=1 v"l а-1 v - 1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И Я-ТЕОРЕМЫ 347
/ о° /V0 оо Na ч
Spur (Л/,) = Spur ( X V ц - V =
=БЕч-."^')
ча=1 v=l а-1 v-1
оо N"
а=1 v=l
соответственно. Назовем их Ел($) и ЕЛ(Ч^), тогда можем дать оценку
(привлекая неравенство Шварца):
оо Na
(вд*)-зд))2= 2 =
\а=1 v=l /
= (22 /W'--¦ /Srh. -^]) -
\а=1 v=l /
2 2Л-К.-?^1-
Ол * ** "я oV} аиа L °а J
0=1 V = 1 0 = 1 V = 1
Назовем первый множитель тf, в силу
оо TV оо 7V
S'*, аиа q
'ИЕтг=1' 2 2 т?-< *='!'¦
•So
a=l v= 1 а-\ v= 1
это - среднее значение значений т]2 величины Л2, а именно, микро-
каноническое математическое ожидание: как раз является смесью
Аа(я = 1, 2, ...) с весами "а, т. е. смесью -- ?va (я = 1, 2, .,. ;
<>а si, а
s и 1
v = 1, .... N") с весами -'-i* а- и А2, как мы знаем, имеет в ? "
'и/ X с V" U
°а __ *v" а
значение т]2 . Поэтому в любом случае т] является разумной мерой порядка
величины для величины А. Итак, имеем
<?,<"- ? 2т^[*~-^Г-
а-1 v-1
*) Число членов уменьшается благодаря тому, что fv, аь - 0, если
только не имеют места равенства v = р, а = Ь, "а в этом последнем случае
произведение равно ?", а и его шпур равен sv, а.
348 ДОПОЛНЕНИЕ
3. Усредним теперь по времени t, что будем обозначать через Mt. Тогда
( оо /V \
м
,(|5"/,)-S(W|)SA), ¦
{ а= I v= I J
м, да, да - в, <" я' ?Л1, {1? s-i- [*" "_.^ ]!}.
Тем самым эргодическая теорема и //-теорема будут доказаны единым махом,
как только мы покажем, что Mt {•••}. стоящие справа, равномерно малы для
всех начальных состояний ф (т. е. для всех
Гр, а' ар, а> 2 2 а = |ф|2 = • (Заметим, ЧТО В Х^а ВХОДЯТ t,
гр,а' ар,а' в иа ВХ0ДИТ лишь гра, все остальное- константы.) Чтобы это
показать, подсчитаем сначала х^ а. Будет
/ 00 /2ir \
а = аФн Ь) = ( 2 2 Ге, bel( h "р b<+*f' • fv,a?p,ь,
\Ь= 1 р= 1
- о* д о, о. vv, атр, а' та, а/
/ \
и дальше (мы учитываем, что 2 г2 а==иа)
\ р=1 ^ а /
§
У Г Г е1Ст^,,а-(tm)"а)'Ч"р,а-"',а)) v
' р, а' а, а* /\
¦Syi Q^Q
*e sa
p, 1
рфа
a
X (?v, e?p, e. a) + 21 ГР. а { (?v, a?p, a> Tp. J ~ ^ } •
p=l a
*) Число членов уменьшится из-за того, что (?v, a<ppi b, c) =
=((fp, b' El at a, c)=0> если только не имеет места равенство а-Ь-с.,
Достаточно показать, что ?" a<ppi * = 0 при a =? 6 или же (в силу ?), аДа
= ?v, a, ср.
sa
!•> 2.) Да<Рр, ь = 0. Это следует из Да= "У, Р9 , так как <р", 4
ортогонально
а=Х "¦ °
ко всем Уз.а.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И Н-ТЕОРЕМЫ 349
Это выражение надо возвести в квадрат и усреднить по /, тогда выпадут все
члены с е1с'1, где с Ф 0. Если поэтому выполняется
при (W( - W") Ф0,
при Рфа, Р'ф</ *L(W9-W') - ??(Wt. -ХГ,.)ф 0,
если только не РФР', афа', -т. е. если для каждого фиксированного а все W
а(р=1, 2, ...) отличны друг от друга, и равным образом все ^р, а - а (р ^
Р' а== 1* 2, -ТО МЫ ПОЛуЧИМ
^(Ка_?^Г)= 1LrlAa\&.a\a' ОР +
Р, (r) = 1
9Ф°
Положим теперь
Мах (I (^. вЧ"Р. e. <Po,a)|2) = MVja, р?="> Р. "=1| •••, Sa
V.)-%rD=N--
где MVja, Nv a - константы, т. е. не зависят от t, rf a и afiU (т. е.
Sa
от 4^). В силу 2 Г1 а~иа будет тогда
Р=1 р'
", ([*,.. - = i ri л а, "+ fs 'I. -
р,о=1 \р= 1 /
SS"2a-(MV,a + Nv,a)'
и поэтому
( со S" 1 оо Na
М< 2 2 7^ К*-a S 2 ^ A . + N...)
Ifl=l V=1 I fl= 1 V=1
00 { A
В силу У ua=\ это также == Мах (У (М + Nv, а) , при
11 "=1.2,... /
этом достаточно ограничить Мах такими а, для которых и 0,
"= 1,2,...
350 ДОПОЛНЕНИЕ
т. е. энергетические поверхности которых на самом деле входят в
микроканонический ансамбль. Тем самым цель будет достигнута, если мы
покажем, что
Na
мало для таких а, причем тогда наш результат будет иметь место для всех
