Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 133

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 145 >> Следующая

квантовую механику не просто в форме сохранения только средних значений,
но в форме сохранения распределения вероятностей энергии. Если бы мы
определили квантовомеханическую "энергетическую поверхность", казалось
бы, естественным образом с помощью 2 ! ап I2 Wn = const, то о справед-
П
ливости эргодической теоремы не могло бы быть и речи - ведь существует
бесконечно много "интегралов движения" | |2, | а2|2, • • • Ее
надо определить, скорее, посредством I ах |2 = constj, I а212 = const2,
...
ict
Так возникает вопрос: Будь а" = гп- е "(/•";> 0, 0^а" < 2ic), тогда
энергетическая поверхность состоит из всех ф = 2 ап • фл с а" -
П
= г" • еЫп (0 gs a'n < 2ic). Подходят ли тогда an (t) = rn ¦ е ^ h n'+ п)
произвольно близко ко всем я', т. е. Wnt -f- a.n - к а" (конечно по
mod 2ic, причем для всех n= 1, 2, ...), и как велики будут "относительные
времена пребывания" в заданных а"-интервалах? Мы мо-
W
жем спросить и так: Будет ли сколь угодно близко подходить
t
ап - ап
для надлежащего t к произвольной системе --- (mod 1 для всех
n= 1, 2, ...), и каковы будут относительные времена пребывания? Согласно
теоремам Кронекера для выполнения первой половины требования необходимой
и достаточной является целочисленно-линейная Wn
независимость --¦ между собой, т. е. условие, что не существует
*) Например потому, что они, согласно (W*ф,, Ф<) = 2 I ап (О |2 ^л* опРе_
П
деляют математические ожидания всех степеней энергии, т. е. все моменты
ее статистики*
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И Я-ТЕОРЕМЫ 333
W j . . W п г\ /
соотношения хг-^-(- ... + хп -- 0 (" произвольно велико, но
конечно; хх хп целочисленны), если только не имеет места равенство хг=
... = л;" = 0*). Из дальнейших теорем Вейля следует, что в этом случае
времена пребывания также оказываются правильными, а именно, они
пропорциональны произведениям длин интервалов **). Итак, в этой
формулировке эргодическая теорема вытекает
W"
из того, что между термами системы не имеется резонансов ***).
Собственно, мы здесь потребовали даже слишком многого: действительно
истинным, существенным для всех приложений, ядром эрго-дической теоремы
является, как уже упоминалось выше, соответствие между временным
ансамблем и микроканоническим ансамблем, а вовсе не вопрос о том, какой
именно путь проделывает на энергетической поверхности точка, изображающая
систему. Как мы знаем из 3., для этого необходимо лишь соответствие между
статистическими операторами этих двух ансамблей (их "настоящий" состав в
отношении волновых функций здесь заведомо не может быть установлен).
Пусть теперь ф, имеет статистический оператор Р^{, тогда речь идет о том,
что он один раз усредняется (при фиксированных ап) по всем t (временной
ансамбль), а другой раз - при ? = 0 по всем ап (мы пишем ап вместо а'п,
т. е. микроканонический ансамбль). Запишем оператор Afy в виде матрицы в
системе координат tpj, ср2, ...
В силу того, что ^ Л wnt+!ln) • ср", его т, ге-компо-
П
нента будет равна rmrne (wn~vn)t+ (*т~ап))_ усредняя ее по всем аг,
получаем 0 при тфп и гт при т = п. Чтобы тот же результат
*) Ср. К г о п е с k е г, Вег. d. Preufi. Akad. d. Wiss. zu Berlin, 1884,
S. 1071-1080, 1179-1193, 1271-1299.
**) Cp. Weyl, Math. Ann. 77 (1915).
***) Может показаться странным, что здесь фигурируют , а не
wm - wn
^-----------, но это связано с некоторой неточностью
нашего рассмотрения.
А именно, постоянный множитель (с модулем 1) не имеет смысла для волновой
функции ф (например, он выпадает из статистического оператора Р^),
поэтому мы должны были бы, собственно говоря, налагать указанные выше
требования не на сами фазы - Wnt -(- ап, но лишь на их разности, скажем,
2it
на ~h ^п - U7')^ + (a" - а') (л ~ 2, 3, ...). Тогда мы снова получаем
тре-
W -- W
бования из текста, но уже относящиеся к собственным частотам -2-^--------
----------
(л = 2, 3, ...).
334
ДОПОЛНЕНИЕ
получился при усреднении по t, должно быть - (Wm-е.
Wm^Wn, при тфп. Это означает: вырождение должно полностью отсутствовать
(условие намного более слабое, чем предыдущее!).
Тем самым эргодическая теорема была бы доказана, казалось бы, в
удовлетворительном объеме. Тем не менее этот результат не может нас
удовлетворить, поскольку здесь ничего не говорится о роли
макроскопичности. Ведь мы здесь оперировали с совершенно точно заданными
системами, так, например, энергетическая поверхность описывалась точным
заданием всех | ап |2. Для того чтобы подойти к только частично известным
системам статистической механики, нам надо еще несколько модифицировать
нашу постановку вопроса *).
5. Эта модификация должна состоять в первую очередь в том, что надо
макроскопически переосмыслить понятие энергетической поверхности, т. е.
надо расширить микроканоническйЙ ансамбль до совокупности всех состояний,
энергетические статистики которых макроскопически неотличимы от
энергетической статистики данных состояний. При таких обстоятельствах
соответствия между временными и микроскопическими средними следует
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed