Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
таких ф: поскольку названное выражение является константой, т. е. не
зависит от ф (t, гд а, ар о) - в него входят лишь Еъа (и тем самым Sa,
Na, Аа, равно как hu)Xi1)i0). Для того чтобы оценить это выражение, надо
оценить MVj", Nv>a.
4. Мы считаем Н, а вместе с ним W а, cpfi а фиксированными
(и удовлетворяющими условиям из 3.*)), так же как и Sa, Na, sva,
и Аа, и варьируем лишь ?v a внутри этих границ. Это означает, что мы
варьируем ортогональную систему шх_ Vj а (v= 1 Na\ Х=1 sva),
s " a a
которая связана лишь условием 2 21 = Аа, и полагаем
,= 1 x=i х- ''' а
sv,a
п = 2 Л" , v = 1 N.. Заметим, что все такие ортого-
П v, а " г
нальные системы шх v а возникают из одной из них, скажем
из шх v а,
с помощью линейных унитарных преобразований (поскольку а фикси-
Na
ровано, в 2sv,a = Sa измерениях)! (Можно вспомнить, например,
v - 1
матричное определение Рш, введение, 3..) Mv_a, Nv a зависят тогда еще
лишь от <ox>v,a и их никоим образом нельзя сделать настолько малыми, как
это нам нужно при каждом выборе системы (этого нельзя также избежать с
помощью каких бы то ни было разумных условий на Sa, Na, sv,a). Если,
например, u)Xi ъ а совпадают с ср (а фиксировано, обеих имеется по Sa
штук), то мы видим, что
*) Эти условия можно слегка ослабить. Так, можно было бы полностью
отказаться от различия самих Wf,a и потребовать от W?! а - WG, а только
следующее: должно существовать такое разбиение пар р, а с р Ф а, р, а =
1, ..., Sa на k групп, что внутри каждой из этих групп разности W'p, а-
WGt а отличаются друг от друга,-будет ли k для всех а фиксированным
числом и будут ли далее достаточно хорошо выполнены указанные ниже
условия относительно соотношений между величинами Sa, Na, sv, а, не
играет никакой роли. Это означает: небольшие нарушения наших условий не
причиняют вреда. Мы не будем останавливаться на этом более подробно. (В
частности, отказ от первого условия не дает большого выигрыша: ведь Ii3
w?,a=W7,a' wi',a = ws',a сейчас же следует, что ^р,а- а = = W , -
W , \
р,а w9',a')
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И Я-ТЕОРЕМЫ 351 любое (?Vpp,a. <pff|
а) принимает среди прочих и значение 1, так что
/ 5 \2 1
будет NVi(Ji^ll g-^-J (если, что всегда имеет место, все
"а
И П0Т0МУ S-^(Mv.a + Nv,a)^Wa-2-T = -yJ,
V=1
т. е. для больших Na произвольно велико. Неблагоприятный результат в этом
случае зависит, естественно, от того, что подобный выбор шх, Vj а вообще
не является разумным: ?Vi а имеют тогда те же собственные функции, что и
Н, а потому перестановочны с ним, - а этого не может быть (ср. I. 2.)!
Между тем такое поведение является лишь сингулярным и исключительным, для
преобладающего большинства систем шх, v, а, о которых шла речь, Mv> а,
Nv> а имеют правильный порядок величины. Но прежде чем доказывать это, мы
хотим (неточно!) сориентироваться в том, чего мы могли бы ожидать в
лучшем случае для М"в, Nv>a. С этой целью мы поступим так: вместо того
чтобы усреднять
Мv>e= Мах (|^,a?p,a> ?.,a)!2).
Рфо, Р, "=1 Sa
по всем возможным системам шх> Vj а (т. е. установить, какие значения
преимущественно принимаются; как определяется усреднение и как оно
осуществляется, будет детально показано в приложении; ср. также дискуссию
в III. 1.), мы усредним сами |(?v, аср а, ТР, a)12
(р=?в. р. а=1 Sa) и {(?", асрр;а, ТР>а) - -3^-} (Р=1--------------'5а)-
а затем возьмем максимум. Мы заменяем, таким образом, среднее от
максимума максимумом среднего-так получаются неправильные, причем слишком
заниженные (т. е. слишком благоприятные) числа, но для первой
ориентировки этим можно удовлетвориться.
Как будет показано в приложении к этой работе, средние от
К "?р, а?., а) I2 (РФ ")• (?V, "?р. а' ?р. а)' { (?v, "?р, а' Тр, ")
~ }
равны соответственно Sv'17 ^,аГ~s'ua^ , Sy'a , Sv' aSfa - , так что
Sa(Sa-l) 5a S2(Se+l)
если sv,a<^.Sa (как и бывает на самом деле), то будем иметь для
5 5 5
средних . -Чр-. Подставим поэтому в виде опыта
Sa Sa Sa
352 ДОПОЛНЕНИЕ
вместо MV)a, Nv>a величину , тогда
Na Na
S" " i it \ П\1 1 2N"
S"(Mv,a + Nv,a)=22-J-
мш ov> a oa
V"1 V=1
Na 2s'1'a
Это мало, если мало, т. е. если -I,----------------------- -гг-
велико. Итак,
Sa N а Na
sv>a, а значит, фазовые ячейки должны в среднем быть большими. Этот
результат совершенно разумен, мы перейдем поэтому к корректному
усреднению MVjQ, Nv, а по u>Xi v> а.
5. Для средних от Mv,a, Nv
при 2 2
ч=1 1=\
к, V" а
в приложении будут найдены верхние границы ~ ^а и 9sv,aInSfl
о*
*-,а °а
соответственно. Как видно, они в ^а П^а и соответственно в 91п5я
с и
°v, а
раз больше использовавшихся в 4. чисел (полагаем 1 sv, а Sa !)> в
частности, первая оценка существенно хуже второй. Возможно, что наши
оценки допускают существенное улучшение и могут быть приближены к оценкам
из 4., - это следует подчеркнуть, чтобы правильно оценить условия,
которые мы получим для соотношения между величинами Sa,Na, sva: они во
всяком случае достаточны, но возможно не необходимы.
