Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
существенно различными энтропиями. (Как раз их наличие делает и* Я-
теоремы глубокое утверждение!) Если самая большая из встречающихся
(макроскопически воспринимаемая!) разница энтропий равна о, то всегда |
In а-lns^J^go, так что
s"a>;sae-3, ^
V = 1 *">" "В
ввиду чего надо потребовать, чтобы -e°Na.
In sa
Впрочем, это соотношение показывает, что опасность оказывается только
кажущейся: в силу малости h, которое входит в левую часть (при Л-> 0, sa-
> оо, ср. введение, 6.), но не в правую, это соотношение при нормальных
обстоятельствах выполняется. Нам кажется, что здесь нет нужды вдаваться в
дальнейшие подробности.
*) Это следует, с одной стороны, из приведенных выше рассуждений, а с
другой - это ясно также и из смысла больцмановского определения энтропии:
ведь фазовая ячейка ?v, а содержит sv, " состояний.
23*
356
ДОПОЛНЕНИЕ
3. Остается еще разобраться в смысле условий на собственные значения
Н, приведя известные классические примеры и контрпримеры к эргодической
теореме и //-теореме.
Пусть К - ящик, в котором беспорядочно движутся N частиц kx kN, т. е.
какой-то газ; примем альтернативно, что:
а) между частицами нет никаких взаимодействий, так что даже соударений
никогда не бывает (это значит, что они могут беспрепятственно проходить
друг через друга);
J3) имеются взаимодействия и соударения.
В случае а) оба предложения, как известно, не справедливы (так как любое
распределение скоростей, а не только максвелловское, может существовать
произвольно долгое время), в случае (3) надеются, напротив, что они имеют
место. (Совершенно аналогична ситуация в случае излучения в полости, в
которой имеется лишь отражение.) Как следует понимать такое поведение с
точки зрения наших условий?
Поскольку в отношении Sa, Na, sv>a и ?Vja едва ли имеется какое-нибудь
различие между а) и |3), то в качестве причины этого различия остается
//-условие. Будем рассматривать сначала каждую частицу в К саму по себе,
тогда ее собственные значения энергии будут Sj, е2, ... *). Собственными
значениями энергии всего К будут
СО / со \
тогда в случае а) все = 0. 1.............= ^ )¦ в случае g)
* = 1 \ v=l /
они еще немного изменятся - тем меньше, чем слабее взаимодействие. В силу
тождественности частиц здесь собственно возникает, вообще говоря, ЛМ-
кратное "обменное вырождение" **), т. е. нарушение первого условия на
собственные значения энергии. Поскольку, однако, имеет место или
статистика Ферми - Дирака, иТш же статистика Бозе - Эйнштейна, т. е.
допустимы только антисимметричные, соответственно симметричные во всех
частицах волновые функции ***), то эти вырождения снова отпадают ****).
Таким образом, здесь не возникает трудностей. Напротив, в случае а)
существует ряд соотношений вида, запрещенного вторым условием:
(sl_bs3_b • • •) - ' • -)===(sl-f_S4H-• • •) - • •
•) И Т. Д.
*) Мы считаем ..., kN тождественными и принципиально неразличимыми между
собой. Если же они различны, то каждая частица kn (п = 1, ..., N)
обладает своим собственным, отличным от других спектром термов еп1, еп2,
... Обсуждение остается тогда таким же, как в тексте, только не будет
требующей рассмотрения опасности вырождения, а) снова будет противоречить
второму условию на собственные значения Н, a g) не будет.
**) В случае а), в случае же g) порядки вырождения совпадают с порядками
неприводимых представлений симметрической группы из N элементов. Ср. Е.
Wlgner, Zs. f. Phys. 40 и 43 (1927).
***) Ср. W. Heisenberg, Zs. f. Phys. 41 (1927), а также P. A. M. Dirac,
Proc. Roy. Soc. (A) 112 (1926).
****) В случае статистики Ферми - Дирака допустимы, конечно, лишь г, = 0,
1, но это не вредит нашим соображениям.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И Я-ТЕОРЕМЫ 357
В случае (5) это невозможно, так как четыре заданных терма К возмущаются
совершенно по-разному, причем это утверждение, очевидно, нисколько не
зависит от абсолютной величины возмущения (т. е. взаимодействия).
Таким образом, внутренняя причина различного характера случаев а) и Р)
лежит в поведении по отношению к условию
W,,a - W^a + WV.e -
Приложение
1. Надо вывести использованные в II. 4., 5. свойства распределений
|(fviacpp,a, %,а)\2 (р ф О) И (f" асрр, a,tpp> а). Сначала, однако, нам
следует разъяснить, как здесь вообще можно говорить о статистическом
распределении.
В II. 4. мы указывали на то, что все величины, зависящие от Е а, зависят,
в конце концов, от wX( v> д, а также на то, что под усреднением мы
понимаем усреднение по этим wXj vj а: поскольку Sa>
s " a v" а
Na, s^a и Дд заданы, они подчиняются условию 2 2 v а ~
v=l Х=1 5v> а
и, со своей стороны, определяют ?v>a по формуле 2^ , а - ^,а-
Дальше мы упоминали, что все такие системы получаются из одной из них,
скажем (ох, Vi а, с помощью линейных унитарных преобразований. Так что,
избрав каким-то образом (ох, Vj а, можно с равным успехом сказать, что мы
усредняем по множеству унитарных матриц пре-
образования
Na
в 2 si, а - измерениях, они переводят (оХ|,
