Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
различения между u>j, u>2, ... (т. е. абсолютно точного определения
состояний, что, вообще говоря, не так). Эти группы будем обозначать
(заменяя применявшуюся до сих пор простую систему
индексов п = 1, 2, ... двойной р = 1, 2, ... и X = 1 sp) через
{(!)]_р и>5 ,р}, р= 1, 2, ..., так что для всех макроскопических
величин*) группы coj , .... u>s представляют собой взаимно вырожденные
функции. Поэтому система coj ..... со равнозначна
" Р Р
любой системе со' , ..., со' , которая получается из первой с по-
, р р, р
мощью линейного унитарного преобразования.
Если все состояния одной группы {coliP, ..., coSp pj смешиваются с весами
1 : ... : 1, то получается статистический ансамбль со стати-
sp
стическим оператором - Ер = - ^ РШх . причем этот оператор Ер
р р Х=1
не изменяется при замене соХ р на любые со' (ср. выше), в чем легко
убедиться. Каждый макроскопический оператор имеет соХ р в качестве
собственных функций, т. е. является линейной комбинацией операторов Рш с
коэффициентами, равными собственным значениям **), а поскольку все соХ р
с одним и тем же р имеют одно и то же собственное значение, то будет
также линейной комбинацией Ер, - отметим это для дальнейшего.
В остальном является, как это видно из его построения,
статистическим оператором ансамбля, для которого все макроскопические
величины имеют значения, относящиеся к р-й группе (при этом все из sp
квантовых орбит обладают одними и теми же весами),- он соответствует
таким образом р-й из альтернатив, относящихся к свойствам системы,
которые могут быть отличены друг от друга с помощью макроскопических
измерений. Тем самым он является эквивалентом "фазовых ячеек" ста-
*) Макроскопической величиной является такая величина, значения которой
могут быть точно установлены с помощью макроскопических измерений. Итак,
если А может принимать все значения от -со до -f-со, а макроскопическая
неопределенность характеризуется тем, что эти значения можно различить
между собой лишь для различных интервалов k, k-\-\ (ft = О, ±1, ±2,...),
то тогда макроскопически измеримой будет лишь f (j4), где f (х) является
следующей функцией: / (х) = ft для ft :? х < ft -)- 1 (ft = 0, ±1, ±2,
...)..Ср. также дискуссию во введении 2 и прим.*) на стр. 327.
**) Эрмитов оператор с собственными функциями Хь Хг> и с соответствующими
собственными значениями тх, w2, ...должен равняться
2 wln Рп также I- с-> ПРИМ- *) на СТР- 330.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И Я-ТЕОРЕМЫ 339
тистической механики Гиббса. Число s^^Spurf), (Spur означает шпур, ср.
прим. *****) на стр. 330) является числом истинных (микроскопических)
состояний, т. е. квантовых орбит в этой ячейке, -его величина является,
таким образом, мерой грубости макроскопического способа рассмотрения.
2. Рассмотрим теперь оператор энергии Н с собственными функциями cpj,
ср2, ... и собственными значениями Wv W2, ... соответственно, так что
H='2iWnP . Следует подчеркнуть, что Н дол-
п
жен быть точным оператором энергии, а вовсе не каким-нибудь
макроскопическим приближением.
Функции срл, в общем, не являются функциями и Н не есть линейная
комбинация Ер, так как энергия, не будучи макроскопической величиной, не
может быть измерена абсолютно точно с помощью макроскопических средств
*), Но с известной (незначительной) точностью это все же возможно, т. е.
можно подразделить собственные значения энергии Wv W2, ... системы на
группы .... а]
(мы здесь снова заменяем простую нумерацию Wn, срл с п - 1, 2, ... на
двойную ^р>а. <рр>а с а= 1, 2 р = 1, .... Sa) таким образом, что все Wf a
с одним и тем же а расположены близко друг-к другу и лишь те из них, для
которых а отличаются между собой (т. е. полные группы) могут быть
различены макроскопически. Как сформулировать теперь, что уже сама
принадлежность значений энергии к одной группе ......^5а, а}
макроскопически измерима?
Мы сделаем это, применив упомянутый выше и неоднократно используемый в 1.
с., прим. *), стр. 330, искусственный прием. Пусть fa (х) - функция,
которая для x = Wla, ..., WSaia (а фиксировано) принимает значение 1, а в
остальных случаях - 0. Тогда fa(H) будет величиной, которая имеет
значение 1, когда значение энергии принадлежит к указанной группе, и 0 в
остальных случаях, - следовательно, она макроскопически измерима. Из
H='^iWnP^, следует
п п
fa (Н) = 2ifa(Wn)PVn (СР- !• с-- ПРИМ- **)• СТР- 329)> так чт0
п
Sa
= 2 Р , а эта последняя группа должна быть линейной ком-р = 1 ЧЬ о
бинацией Далее 2 Рт , а также и каждый Е" - 2 Рт
р Р = 1 ?р. " р >.= 1 К р
равняется своему квадрату, а произведение любых двух различных Ер
*) Вспомним хотя бы условия наблюдения обычного газа! Конечно,
в принципе энергия с дискретным спектром (ср. стр. 332) при благоприятных
обстоятельствах измерима с абсолютной точностью: можно, например,
рассудить, находится осциллятор в основном состоянии или нет.
22*
340 ДОПОЛНЕНИЕ
равно 0 *); отсюда следует, что в упомянутой линейной комбинации Ер
