Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 143

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 .. 145 >> Следующая

(а фиксировано!)
Следовало бы обозначать эти матрицы через
{1х, у/х', у'}, используя для строк двойные индексы X, v, и равным
образом для столбцов X', V, в соответствии с системой индексов для (ох
S "
а а __
ведь должно быть и>х а - 2 2 Ь, v/x', v-
X' = l v' = l
но мы предпочитаем ввести один текущий индекс, т. е. писать Sp/p' (р. ?'
=1. •••, Sa). Теперь мы должны объяснить, как следует усреднять по
множеству 5а-мерных унитарных матриц {$р/р'}.
Мы желаем усреднять так, чтобы при этом ни одной из систем отсчета "а не
отдавалось предпочтения перед другими. Если теперь (oX(Via означает
какую-нибудь другую из таких систем отсчета
358
ДОПОЛНЕНИЕ
Na sv, а ^ ^
2 Sx,v/x'v' u>x-,v',a (запишем теперь также и $р/р- вместо
Ы "=1
?х,мД',м')> т0 между матрицами [?р, р) и {$рр,} (той же системы ш, v а) в
отношении к ioXj Vj а и соответственно ioXj Vj а существует соотноше-ние
{Sp/p'} = ) (5р/р'}. т. е.
, _ 5а
%I9"~ 2 WW'
9 =1
Итак, метод усреднения должен быть таким, чтобы он был инвариантным по
отношению к преобразованиям указанной выше формы {?р/р,} -> {?р/р-} (для
любой фиксированной унитарной матрицы (?0/Р')).
Но подобный метод усреднения по унитарной группе существует, причем он
полностью определяется наложенным требованием; он был разработан Вейлем
*). Мы, однако, не будем пользоваться здесь его общими формулами,
единственное, что нам понадобится для достижения цели, - это свойства
инвариантности этого метода усреднения. Упомянем еще, что (как показано в
1. с.) указанный метод усреднения инвариантен также по отношению к
преобразованию {?р/р,} -:> {?*/р-}# которое определяется соотношением
{^р/р"} == {^Р/Р¦} {^Р/Р'} * т> е-
%/? =р^1 WV/r
Во-вторых, сделаем еще несколько формальных упрощений. Так как порядок
нумерации м=1, ..., Na не имеет значения, то достаточно рассмотреть ?1а.
Заменой индексов X, v через р мы можем распорядиться так, что X, 1
перейдет в р=1 sx а. Выберем затем
систему отсчета u>X v a; пусть это будет система срр> а, чем одновременно
достигается перенумерация. Имеем тогда
*1, а
(?1,аТр, а' То, а) 2 (?шТг аТр, а> То, а)
Т SS 1
h,a si,a
== 2 (Тр, а' "'о, а) (Ш1, а' То, а) == 2 ^т,р '-;0¦
о=1 т=1 г 1
И, наконец, опустим излишние индексы v, а, так что Sa, Na, s1>a, Да* ?1
,а< Тр, а' м1,а- Ni,0 перейдут в 5, N, s, Д. ?, срр, М, N.
•) Н. Weyl, Math. Zs. 23 (1925).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И Я-ТЕОРЕМЫ 359
Итак, вот наша задача: исследовать с помощью очерченного выше метода
усреднения распределения величин
S 2
К*Рр. ?а)|2 =
(?фа)
(*Рр. 'Рр)= Ё1Ц12.
где |5Р/р' | пробегает все 5-мерные унитарные матрицы.
2. Прежде всего одно вспомогательное рассуждение. Установим
5
распределение значений 2 х2, когда вектор {лГ], .... л;5} пробегает
поверхность единичной сферы 2 *2 = 1 • причем сначала для веще-
p=i р
ственных х?. То есть мы определим W (и), где W(u)du является
5
(геометрической) вероятностью для я < 2 x2<u-\-du(Q<u<
p=i р
Простое геометрическое рассмотрение, которое мы здесь не станем
воспроизводить, показывает, что W (я) пропорционально выраже-
--1 1 нию и2 (1 -и) 2 , а не зависящий от и фактор
пропорциональ-
ности определяется из
1
J W (я) du - 1.
о
Если теперь ЛГ], ..., xs могут быть комплексными и, следовательно, надо
рассматривать
u^i\xt\2^4 + du и 2|*р|2=Ь
p=i p=i
то стоит лишь сообразить, что все остается по-старому, если
действительные и мнимые части х? рассматривать как вещественные декартовы
координаты. При этом нужно лишь s, 5 заменить на 2s, 25. Тогда W (я)
будет пропорционально д*-1(1 -u)s~s~1, а фактор пропорциональности
определяется из нормировки как ^ i)f •
*) Речь идет об определении площади s-мерного сегмента на 5-мерной
единичной сфере.
360 ДОПОЛНЕНИЕ
/ S \П
Следовательно, среднее от I будет равно
\р=1 /
f -_-~~ Ч! us~l(\ u)s~s~r • ип ¦ du -
J (s- 1)!(S - s- 1)! ^ > u au~
l
___________________(S
(s-l)l(S
=Ьл'<<" =
_ (S - 1)! (s+л-1)!(S -s -1)! s(s+l) ... (s + л -1)
- (s -1)! (S -s -1)! (S-fn -1)! S(S-fl) ...(S + n - 1) '
3. Возвращаясь к унитарным {?P/P'}, запишем для краткости
5
ее, а = 2 К/рК/о- ^ СИЛУ приведенных в 1. оснований, все вр>0(р=?а)
имеют одно и то же распределение вероятностей, а равным образом и все е
*).
S
В ?р, р= S 15т/р12 входит лишь р-й столбец матрицы {?Р/Р'}, по
нему можно усреднить так, как это было проделано в 2. по единичной сфере
(это легко следует из свойств инвариантности наших средних). Поэтому
будет (через мы обозначаем среднее)
ЗЯ (*р, Р) = "5 •
sm(еч \ _ s(s + *) ж{ее,е)- S(S+1) '
s(s-)-l) s2 s(S - s') S(S-f 1) ~~ S2 ~ S2 (S -f 1) •
Дальше из E2 = E выводим
s
eP'P ??> P~^P ^ J e<1' '
рфа
*) Перестановка строк и столбцов принадлежит к введенным там
преобразованиям.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И Я-ТЕОРЕМЫ 361
В силу равенства всех Tt(\eft J2) (р^а) будет поэтому
1 ( s s (s -j-1) \ s(S - s)
~S - 1\S S(S + 1) )- S(S2 - 1) •
Тем самым использованные в 11. 4. средние значения найдены, причем в
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed