Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
так называемые высшие моменты распределения вероятностей), знание всего
распределения вероятностей любой величины, т. е. полную статистическую
характеристику системы ***).
Нам нужна также статистика величин в системе, в которой имеется не одно
состояние tp, а много состояний (plf <р2, ... с соответствующими
вероятностями wv wv ... Тогда математическое ожидание А равно, очевидно,
2'а,я(^'Ря' ?я)> чт0 удобнее записать по-другому.
П
Именно, будем описывать оператор А в некоторой полной ортогональной
системе функций матрицей af,, а функции (рп - векторами jc"(p., v=l, 2,
...)****). Тогда
2 (r)Я V <Ря. <Ря) = 2 (r)я 2 а хп*х^ = 2 а Г 2 (tm)пКх?*], п п p., V
Щ * L Я J
т. е. если обозначить через U оператор с матрицей 2(r) хпхп*, то
я Я (1 V
рассматриваемое выражение будет равно шпуру от AU*****). Тем са-
*) В способе обозначений и методах, используемых ниже, мы придерживаемся
работы автора в Gott. Nachr. 11 Nov. 1927, S. 245 - 272. Однако все
необходимое для поставленной цели будет резюмировано здесь.
**) Вычисления с этими объектами описываются вкратце, например, в работе
автора в Gott. Nachr., 20 Mai 1927, S. 1-57.
***) Ср. Dirac, 1. с., прим. ***) на стр. 328 и работу автора,
1. с.,
прим. *).
**и) Ср. 1. с., прим. **).
*****) Ср |_ с ( ПрИМ- *) и далее Dirac, Proc. Combr. Phil. Soc.,
29 Oct.
1928. Шпур - это сумма диагональных элементов матрицы; так как эта сумма
инвариантна по отношению к унитарным преобразованиям, то можно просто
говорить о шпуре оператора безотносительно к определенной полной
ортогональной системе функций.
4f)\2dql
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОИ ТЕОРЕМЫ И Я-ТЕОРЕМЫ 331
мым статистическое поведение введенных смесей многих состояний
характеризуется оператором U на основании правила: математическое
ожидание А равняется Spur (AU). Мы называем U статистическим оператором
смеси. Как видно, знания его достаточно для описания смесей, причем нет
нужды задавать отдельные состояния, из которых состоит смесь.
Кроме того, удобно ввести особое обозначение для оператора
с матрицей (лг^ - вектор волновой функции 9): Р . Легко ве-
рифицировать и другое определение: /,(р/ = (/, 9) • 9 (/ - любая другая
волновая функция). Тогда будет У=2и,лЛ>"' в частности Р
П
является статистическим оператором самого состояния 9.
4. Теперь мы можем непосредственно перейти к
(квантовомеханической) формулировке эргодической теоремы. А
именно, мы обсу-
дим сначала два подхода, которые хоть и не решают саму проблему, но, как
нам кажется, проясняют и делают более прозрачными существующие здесь
соотношения.
Классическая формулировка эргодической теоремы (точнее, квази-
эргодической теоремы) звучит так: точка фазового пространства,
изображающая систему, в своем движении (определяемом из дифференциальных
уравнений механики) сколь угодно близко приближается к любой точке
энёргетической поверхности системы, при этом время, проводимое
изображающей точкой в среднем за большой промежуток времени в какой-
нибудь области энергетической поверхности, пропорционально объему этой
области *). Тем самым в случае заданного состояния статистические
свойства временного ансамбля (который получается усреднением каждой
величины по всем временам) оказываются тождественными статистическим
свойствам его микроканони-ческого ансамбля. Этот последний представляет
собой смесь всех точек, изображающих систему, лежащих на энергетической
поверхности, причем кускам поверхности равной площади (ср. прим.*)
приписываются равные веса.
Пусть теперь в квантовомеханической формулировке Н будет оператором
энергии, 9j, 92, ... -его собственными функциями **), a Wv
*) В качестве объема, как известно, здесь берется не (2/-1)-мерная
площадь энергетической поверхности, а 2/-мерный объем прилегающего к
энергетической поверхности слоя, т. е. интеграл от обратного градиента
энергии по указанному куску поверхности. - На существенную (и часто
недооцениваемую) разницу между двумя половинами приведенной в тексте
формулировки квазиэргодической теоремы указывали П. и Т. Эренфесты (1.
с., прим. *) на стр. 326): вторая половина неизбежно необходима для
обоснования статистической механики Гиббса.
**) Точнее, некоторая полная ортогональная система, образованная из них,
- система координат, в которой Н - диагоналей. (Мы предполагаем, что
сплошной спектр отсутствует.)
332 ДОПОЛНЕНИЕ
\Г2, ... - соответствующими собственными значениями. Состояние ф = 2 ап •
ср" эволюционирует с течением времени t Oj в смысле
временнбго дифференциального уравнения Шредингера следующим образом:
М. w i
Ф/ = 2 а"е л " • <р" = 2 ап (t) ср".
п п
Прежде всего, здесь надо теперь проанализировать несколько подробнее
понятие энергетической поверхности. Именно, с течением времени
постоянными остаются все | ап (t) |2 = | ап |2, а не только
математическое ожидание энергии (#ф,, ф,) - 21 ап (О I2 Поскольку
П
эти | ап (t) |2 характеризуют всю энергетическую статистику *), мы можем
сказать так: Закон сохранения энергии классической механики переносится в
