Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя приведенные выше выражения, для среднего от
Na
V> S,
а
(М" а + Nv> а)
находим, что оно
Na
, v>а \ sa s . .
v = l \ a f \ v = 1
Введем арифметическое и гармоническое средние от sv> а (v=l Na):
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И Я-ТЕОРЕМЫ 353
/9 N \
тогда указанное выше выражение равно In Sa • -=- + -=^-1. Поскольку
V 1
s = sa и (это выражает оправданное допущение, что на
энергетической поверхности лежит много фазовых ячеек), то это
~1п5а--Когда это выражение мало?
sa _ _ _
Во всяком случае должно быть sa^sa^> Na, lnsa^lnNa, так что In Sa = In sa
-j- In Na, можно заменить на In sa. Итак, условием будет
inFa-S<ci.
sa sa In Sti
т. e.
Na
2-Cp-
v=l S'1' a Sa
Это означает, что sv>a должны быть велики и по отношению к их числам Na
(т. е. фазовые ячейки по отношению к их числу на энергетической
поверхности), а не только, как в 4., просто велики. Что это означает
более точно в применении к распределению sV: а, будет еще показано.
Следует еще раз указать на предварительный характер наших оценок.
Возможно, что данное выше усиление требования относительно величины
фазовых ячеек необходимо на самом деле для того, чтобы эргодическая
теорема и //-теорема были справедливы. Может оказаться также, что оно
вытекает лишь из неполноты наших методов оценки, так что в
действительности достаточно уже условия из 4.. Было бы интересно внести
ясность в этот вопрос.
III. Обсуждение результатов
1. Подведем итог достигнутому до сих пор. Мы показали:
Пусть ф - некоторое состояние, ф, - состояние, вытекающее из него с
течением времени 0), -его микроканонический ансамбль
(ср. I. 3.), Н-оператор энергии, W- его собственные значения (а=1, 2,
...; р=1, ..., Sa', макроскопически различимы лишь собственные состояния
с различными а, ср. 1.2.), - как ф так и Н являются точными (не
макроскопическими!) выражениями. Относительно Н мы делаем допущение, что
(при фиксированном а) все W а различны между собой, а также все разности
UP-И7,, а* т- е-что Н не обладает вырождением внутри макроскопически
неразличной группы термов и резонансами с другими (виртуальными) такими
же
23 И. Нейман
354 ДОПОЛНЕНИЕ
системами *). (Не слишком частые нарушения этого запрета допустимы.)
Тогда для математического ожидания каждой макроскопически измеримой
величины А и для энтропии в среднем по времени имеют место
Мах
[Cp. II. 3 достаточно образовывать Max лишь по тем а (макроскопические),
энергетические поверхности которых входят в микро-канонический ансамбль
и^(иа = (Даф, ф) ^ 0)-на практике чаще всего это сводится к лишь одному
a. rf является микроканоническим средним от А2, т. е. является мерой
порядка его величины.]
Эргодическая теорема и Я-теорема справедливы, таким образом,
Na
без исключений (т. е. для всех ф), если эти V (MVi а -|- NV) а)
v> а v= 1
малы. Относительно выполнимости этого условия, в которое помимо Sa' Na'
s"a (и К) входит также 0)x,Via (в Mv,a и Nv_ а), можно сказать следующее:
Если имеет место
Na ( Na
iTi v>° Ins" V a
Sa
т. e. если фазовые ячейки ?^a велики по отношению к их числу на
энергетической поверхности Аа, то это условие выполняется для
подавляющего большинства шх v а, т. е. среднее по о>х v а от
Na
S#4Mv,a + Nv>a) мало **).
v = l
Итак, истинное условие справедливости обеих теорем может
Na
нарушаться и при V -=" * т- е- Даже и в этом случае
~ sv, a lnsfl
V=1
*) Именно, если a-Wai a = Wf, a-Wa, a, то состояние ?р> а первой и
состояние <ра, а второй системы имеют ту же суммарную энергию, что и
состояние <ур, а первой и <fa a второй системы.
**) Заметим: мы доказали не то, что для каждого данного ^ или А
эргодическая теорема и Я-теорема имеют место для большинства "х, а, а то,
что для большинства л>х, v, а они вообще справедливы, т. е. для всех ^ и
А. Последнее, естественно, намного больше, чем первое.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И Я-ТЕОРЕМЫ 355
можно так искусно выбрать макроскопическую измерительную технику (шх, м,
а)' что °(r)е теоРемы не будут справедливы. Но для подавляющего большинства
макроскопических точек зрения обе теоремы справедливы без исключений (т.
е. для всех ф и А).
_а
2. Присмотримся внимательнее к условию V -=-.
^ Sv,a lnsa
Если бы все s4i0 (а фиксировано!) были примерно равны, то это
N 1 F
условие означало бы, что -^-<^--, -=r^>Na, т. е. немногим _ sa !ns"
lns"
больше, чем sa^>Na, т. е. утверждение, что фазовые ячейки велики по
сравнению с их числом на энергетической поверхности. Если же среди s">0
попадаются существенно различные, то нужна максимальная осторожность:
одно-единственное s4t0, которое не ^>1, уже
Na
приводит к тому, что V не <С11> т. е. к нарушению нашего
5м> а
4=1
условия. С другой стороны, s^a сильно отличаются друг от друга:
ибо lns">0 надо считать энтропией смеси -5-E4ta, которая характе-
~ si, а '
ризует общую систему, находящуюся в фазовой ячейке Е а*),- и
достаточно представить себе соотношения из теории газов, чтобы понять,
что на энергетической поверхности, вообще говоря, лежат фазовые ячейки с
