Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
из этого состояния в состояния описываемые
собственными функциями toj a u>^ v, a, образующими Еъа,
т. e.
I" i <¦. Л," ">i!= *1" (4t)-",.t. "¦
Можно сказать, что настолько плотно занята ячейка Е д в состоянии ф. Для
того чтобы значение энергии относилось к группе [Wl a ^sa,ab получается
соответственно выражение
2 1 (Ф> ТР, а) I2 = 2 {Рь, Jr. Ф) = (Авф. Ф)-
Это является также числом заполнения энергетической поверхности Да. В
духе этих представлений имеем
2 (*" вф. Ф) = (Авф. Ф). . 2 (Авф. Ф) = (Ф. Ф) = 1 •
v= 1 а = 1
Теперь мы можем определить микроканонический ансамбль, принадлежащий
состоянию ф, т. е. задать его статистический оператор. Если бы одно
только (Даф, ф) равнялось 1, а все остальные были бы равны 0 *), то мы
должны были бы, конечно, выбрать в качестве
статистического оператора оператор Да, рассматривающийся уже
а
в 2. **). Если же несколько (или все) (Даф, ф)=?0, то надо определять
*) Отметим, что все наши "числа заполнения" по своему построению isO.
**) В 1. с., прим. *) на стр. 330 приводились общие основания для того,
чтобы всегда этот статистический оператор принадлежал тому
статистическому ансамблю, о котором известно лишь то, что его энергия
лежит в а-й группе.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И "-ТЕОРЕМЫ 343
по-другому, а именно установим, что тогда должна браться смесь Д), Д2,
• • • с весами (ДЖ ф): (Доф, ф): • • • . Микроканонический
Oi 02
ансамбль будет иметь тогда следующий статистический оператор:
0=1
Собственно, оправданием этого определения является лишь последующий
успех: эргодическая теорема и //-теорема справедливы лишь в этом случае.
(Во всех практических случаях, конечно, все (Даф, ф), кроме одного-
единственного, очень малы.)
Остается еще определить энтропии для фи (самого состояния и относящегося
к нему (виртуального) микроканонического ансамбля). Не имеет смысла
пользоваться здесь выражениями для энтропии, данными автором, так как они
вычислены с точки зрения наблюдателя, который может проделать все
принципиально возможные измерения, т. е. безотносительно к макроскопии
(например, каждое состояние ("чистый случай") имеет там энтропию 0 и лишь
смеси имеют энтропию > 0!). Если принять во внимание, что наблюдатель
способен измерять только в макроскопическом смысле, то придем к другим
выражениям для энтропии (имеющим ббльшие значения, так как наблюдатель
теперь менее удачлив и при определенных обстоятельствах может отнимать у
системы лишь меньшую механическую работу); но теорию можно построить
также и в этом случае. Е. Вигнер рассмотрел, каким образом надо поступать
*). Формулы для энтропий 5(ф), S{U^) состояния ф и микроканонического
ансамбля Uф соответственно имеют вид
5(Ф>=- ? S(?^-
а-1 1
00
^ (//ф) = - J] (Даф, ф) 1п .
Впрочем, эти формулы для энтропии тождественны с обычными формулами,
основанными на больцмановском определении энтропии (с использованием
формулы Стирлинга). Стоит лишь заметить, что
*) Е. Вигнер устно сообщил автору относящиеся сюда результаты, до сих пор
еще не опубликованные. Здесь будут использованы лишь формулы, требуемые
для наших целей, нет необходимости обсуждать общую теорию.
**) Мы опустили обычный множитель k (постоянная Больцмана), т. е. за
единицу температуры принимается эрг на степень свободы.
344 ДОПОЛНЕНИЕ
(?,1<гф, ф), (Ааф, ф) являются числами заполнения фазовых ячеек,
энергетических поверхностей соответственно, a s а, Sa - числа находящихся
в них квантовых орбит, т. е. их так называемые априорные веса.
II. Проведение доказательств
1. Временная эволюция исходного состояния ф определяется из зависящего
от времени дифференциального уравнения Шредингера
I I д , 2Ki ...
= -gfb = -r^t
( °° S" \
[И-оператор энергии, = 2 2 W • Р ). Таким образом,
\ 0 = 1 р=1 р' ТР, о/
если sa
ф- 2 2 г аеы*>а • ср а (г Ш 0, О^а <2л).
0=1Р=1
то будем иметь
" ^ t(b-V7 t + a ) a=l p=l
Положим для краткости
a = (?V, ab' W- Мо==(ДоФн W = (M> Ф)
(оба последних выражения равны друг другу, потому что
(ДоФн Ь) = S (Р<р фн Ф<) = 2 | (ф/- Тр. о) I2 = 2 Г3 р= 1 N Tpi а '
р = 1 р=1 г*
Na
не зависит от t). Как видно, 2-*\, а~ иа> 2 аа~^< л:,, я зависит
v=1 ' а=1
от t, а иа не зависит*). Из определений энтропии нам известно, что л:, а,
иа неотрицательны и что имеют место соотношения
со Л'а со
s<w=-S s"=-2 ">-37-
1 V=5 1 1
*) Так что микроканонический ансамбль ^ -^г- Да также не изменяется при
замене ф на фл
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И Я-ТЕОРЕМЫ 345
Так как сумма всех а, как и всех иа< равна 1, то все они >: 0. Ss 1 и
вместе с тем обе энтропии всегда i^O. Займемся теперь подробнее
соотношением между их величинами.
Имеем иа\ заменим хъа переменной z и примем сна-
25
чала 0 < с <-§~д~иа' так что
. z s.
- z In =--------------------
пЦп
¦Z - 1
< 1. Тогда будет
°а \ L аиа
+'"11+[^г-1]))"-±Хг(| + [1^Гг-'])х
2^-fin-^-+ ОГ-r^-г -ll-
Sa \ Sa / L Sv, atla J
s~>< aua Г Sa ___________ . "I ^ Sv, gtlg Г Sa ___________ . 3_____
1-2 -Sgls^gUg2 J ' 2 " 3 " Sa |_ S^gUg 'J
