Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
являются, а 91- его физическая величина. При измерении Й из U получается,
в силу /.,
Положим теперь
Ф<я) =
П
</" = 2 2(ЬЧЯ). ?<;>) • Рип)у
П=1 V=1 7 l/vj
П
Vs"
2izi
eSft <pj
, (Я)
"")•
V=1
Функции <МЯ>, . .., образуют ортонормированную систему, кото-
sn
рая растягивает то же замкнутое линейное многообразие Ш", что и <pW, ....
<р<"\ Поэтому и (п- 1, 2, ..v = 1...................s") образуют
sn v
полную ортонормированную систему. Построим с этими собственными функциями
оператор S и относящуюся к нему физическую величину <Й5. Отметим еще, что
выполняются следующие формулы:
( 0 для тф п, sn sn
1 2 Pf (Я)1 ~ 2 Р{Лп)Л ^ Еп.
-¦ для т = п, t?-1 (tJ 'J ,-ti Г; J
Поэтому при измерении @ в силу /. из U" получится
°°
2 Wr.
[<Н
п
2 2 2 о
т = 1 ц. = 1 Ln=l v=l ' J
Zd 2j 2u sm
m=s 1 (j.= 1
OO
l*n
Spur (UEm) p ____ Spur (UEm) p ц Л
sm " Sm m
m= 1 v=l m= 1
Таким образом, двух процессов /. хватает, чтобы преобразовать U в V, - и
это все, в чем мы нуждались для доказательства.
304
ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ
[ГЛ. V
Для состояний (у = Р[9], Spm(UEn) = (?лср, ср) - ||?лср||2) эта энтропия
-S II^Tll-ln
7. п= I
не испытывает более тех зол, что "микроскопическая", - она, вообще
говоря, не остается постоянной во времени (т. е. при процессе 2.) и не
для всех состояний равна нулю. Действительно, что Spur (UEn), из которого
строится наша энтропия, вообще говоря, не остается постоянным со
временем, уже обсуждалось в прим.204) (стр. 301). Легко выяснить, когда
состояние ?/ = Р[?] будет обладать
II ? v II2
энтропией 0: Поскольку ¦ -^-0 и -^1, то все слагаемые ||?лср||2 1п]1М1_ в
выражении для энтропии ^0, они должны были
sn
бы, следовательно, все обратиться в 0. Это требует, чтобы
II ? 9II 2
?-51-=0 или =1. Первое означает, что Епср = 0, последнее -
что ||?"ср|| = Поскольку, однако, ||Елср|| 1, то
для последнего нужно s"=l и ||?лср|| = |[<р||, т. е. Епср = ср или s"=l и
ср лежит в 2ЯЛ. Это последнее не может, конечно, выполняться для двух
различных п, но не может и не выполняться ни для
одного, так как тогда было бы всегда Епср = 0, т. е., в силу
00
2гДл=1> <р = 0. Итак, надо, чтобы в точности для одного п
П~ 1
ср лежала бы в и при этом было бы $л = 1. Поскольку ранее мы установили,
что, вообще говоря, все то это невозможно.
Итак, наша энтропия всегда > 0.
Поскольку макроскопическая энтропия зависит от времени, то следующий
вопрос, который нам надо разрешить, состоит в том, ведет ли она себя, как
энтропия феноменологической термодинамики в действительном мире, т. е.
возрастает ли она прогрессивно? В основанной на классической механике
теории утвердительный ответ на этот вопрос получается через посредство
так называемой Н-теоремы Больцмана, но при этом приходится делать
известные статистические допущения, так называемые "гипотезы беспорядка"
205). В квантовой
2°5) Относительно классической Н-теоремы ср. В о 11 z ш a n n, Vorlesun-
gen tiber Oastheorie, Leipzig, 1896, равно как и чрезвычайно поучительное
обсуждение у П. и Т. Эренфестов (см. прим.165) на стр. 267). "Гипотезы
молекулярного беспорядка", которые могли бы занять в квантовой механике
место соответствующих гипотез Больцмана, формулировал Паули (в зоммер-
фельдовом юбилейном сборнике, 1928), там же с их помощью доказывается
Н-теорема. Недавно автору удалось доказать и эргодическую теорему
классической механики, ср. Proc. Nat. Ас., янв. и март 1930, равно как и
усиление у О. D. Birkhoff, Proc. Nat. Ас., декабрь 1929, март 1930.
4]
МАКРОСКОПИЧЕСКОЕ ИЗМЕРЕНИЕ
905
механике автору удалось доказать соответствующую теорему без
предположений такого рода 206). Более близкое знакомство с этим
предметом, равно как и с теснейшим образом связанной с ним эргоди-ческой
теоремой (ср. прим. 206), где последняя также доказывается), завело бы
нас слишком далеко, и мы должны отказаться от передачи этих исследований.
Заинтересованного в этом направлении читателя мы отсылаем к приведенным
работам *).
20в) Zs. f. Phys. 57, 30(1929). (См. перевод этой статьи в конце книги.)
*) См. прим.гов). Прим. ред.
ГЛАВА VI
ПРОЦЕСС ИЗМЕРЕНИЯ
1. Постановка задачи
В предыдущем рассмотрении мы выяснили, как относится квантовая механика к
различным, причинным и статистическим, методам описания природы, и
обнаружили своеобразную двойственность ее предписаний, которая не была
еще исчерпывающе объяснена. Именно, мы нашли, что, с одной стороны,
некоторое состояние ср преобразуется под действием оператора энергии Н за
время 0 ^ х ^ t в состояние ср' по закону
= (ОСтСО.
сро = ср, ср, == ср',
или, иными словами,
h (
т. е. чисто причинным образом. Смесь U преобразуется тогда соответственно
в
U' = e h Ue h и в согласии с причинным изменением ср в ср' состояния U =
переходят при этом в состояния ?/' = Р[<р>] (процесс 2. в V.1). С другой
стороны, при измерении - пусть, например, измеряющем некоторую величину с
только простыми собственными значениями и собственными функциями cpj,
ср2, ... -состояние ср испытывает акаузальное изменение, в результате
