Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
измерение состоит в том, что как-либо идентифицируются, например
фотографируются, два световых кванта - один световой квант, отклонившийся
за счет комптон-эффекта при измерении q, и второй, отразившийся при
измерении р с эффектом Допплера, свою частоту изменивший и для
обнаружения этой частоты соответствующим оптическим устройством (призмой,
дифракционной решеткой) отклоненный, световой квант. Итак, в конце опыта
мы имеем дело с двумя световыми квантами или даже просто с двумя
фотографическими пластинками, и из направления этих квантов или из
расположения почернений на пластинках мы должны вычислить q и р. Здесь
следует отметить, что ничто не препятствует нам определить эти два
направления или места этих двух почернений сколь угодно точно, - ибо
очевидно, что это - одновременно измеримые величины (это импульсы или
соответственно координаты двух различных объектов), - но это нисколько не
поможет измерению q и р. Действительно, как было показано в III. 4, связь
этих величин с q и р так устроена, что для последних как раз сохраняются
неточности гит/ (даже при
203) Такая характеристика макроскопического наблюдателя восходит к
Вигнеру.
4]
МАКРОСКОПИЧЕСКОЕ ИЗМЕРЕНИЕ
297
совершенно точном знании первых), и нельзя устроить опыт так, чтобы стало
Итак, если мы введем эти два направления или два положения почернений как
самостоятельные физические величины, их операторы пусть будут называться
Q' и Р', то видим, что Q' и Р' совершенно точно перестановочны, но
принадлежащие q и р операторы Q и Р можно выразить с их помощью не
аккуратнее, чем с точностью до е и у]. Пусть относящимися к Q' и Р'
величинами будут q' и р'\ та интерпретация, что макроскопически измеримые
величины - это, собственно, не сами q и р, но и р', совершенно
естественна и полностью соответствует нашему постулату об одновременной
измеримости всех макроскопических величин.
Целесообразно трактовать выясненное обстоятельство вообще как
характеристику макроскопического способа рассмотрения. Это рассмотрение
состоит тогда в том, чтобы заменить все возможные операторы А, В, С, ...,
как правило, не коммутирующие друг с другом, другими операторами А', В',
С', ..., функциями которых они приближенно являются и которые коммутируют
друг с другом. Поскольку эти функции операторов А', В', С', ... можно
тоже обозначить через А', В', С' то мы вправе сказать, что А', В',
С', ... являются приближениями для А, В, С но коммутируют
друг с другом. Если порядок величины операторов А' - А, В'-В, С' - С, ...
задан числами еА, ев, ес, ..., то мы видим, что произведение еАев будет
такого порядка, как АВ-В А (что ведь, вообще говоря, ^=0) и т. д., - это
определяет границы достижимой степени приближения. Разумно, конечно, уже
при задании А, В, С, ... ограничиться лишь такими операторами, чьи
физические величины хоть в каком-либо приближении макроскопически
постижимы.
Эти чисто качественные рассуждения остаются пустой программой, пока мы не
сможем показать, что они требуют чего-либо математически проводимого.
Остановимся поэтому на том, чтобы обсудить для характерного случая Q и Р
вопрос о существовании Q' и Р' чисто математически. Итак, пусть заданы
два положительных числа
е и tj с ?7j = ; мы ищем два коммутирующих оператора Q' и Р'
таких, чтобы Q'-Q и Р'-Р имели бы (в некотором, еще подлежащем более
точному определению смысле) порядок величины е и у].
Мы достигнем этого с двумя совершенно точно измеримыми величинами q' и
р', т. е. такими, чтобы Q' и Р' обладали чисто дискретным спектром;
поскольку они перестановочны, то существует состоящая из их общих
собственных функций полная ортонормиро-ванная система ср1( ср2, ... (ср.
II. 10). Соответствующие собственные значения Q' и Р' пусть будут Cj, сг,
... и Ьх, ............ так что
298
ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ
[ГЛ. V
оо оо
Q'= 2 алР[ч>"] и Р'- 2^лР[?,г]- То, что их измерение - пусть
проводимое так, что после него возникает одно из состояний <рг, ср2,
(измеряя, например, некоторую величину 5R, которой соответствует оператор
R с собственными функциями срр ср2, ... и всеми различными собственными
значениями ср с2 тогда Q' и Р' будут
функциями R),-включает приближенно и измерение Q и Р, видно из
следующего: В состоянии срл операторы Q и Р выражаются приближенно через
соответствующие значения Q' и Р', т. е. через ап и Ьп, в том смысле, что
их дисперсии вблизи этих значений малы. Этими дисперсиями будут
математические ожидания величин (?- апУ и (Р - Ьп)2' т- е-
((Q-an1)2срл, срл) = j|(Q--a"l)cpJ2 = an<fj2
\{P~bnl)2cp", "рл)= ||(P -*"1)<рл||2= \\Руп - bnyn\\2.
Они будут масштабами для квадратов разностей между Q' и Q или
соответственно между Р' и Р, т. е. должны примерно равняться г2 или т]2.
Итак, мы требуем, чтобы
НФрл -впТлН-^в; 11Рср" -•••
Поэтому, вместо того чтобы говорить о Q' и Р', целесообразнее просто
найти полную ортонормированную систему срр ср2, ..., для которой при
соответствующем выборе ах, а2, . .. и bv b2, ... выполнялись бы
