Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
/'(*) = 1п*+1. fw=i,
и выполняя сложение, мы получим м / м \ / м
Af Af
284 ОБЩЕН РАССМОТРЕНИЕ [ГЛ, V
+
- In
Ж ' /Ж ч ч
(Ж Ж \
2(r)я|*1я12-2(r)я|**"12 +
Л=1 Л=1 /
/Ж
1 U22Re(&
ж Ц Zj *¦ '"'Гл:1лл:2л;
2(r)я|Ч.Р / Л=1
Л=1
Чтобы первый член справа осуществлял максимум, коэффициент при е должен =
0, а коэффициент при е2 быть ^ 0. Первый из них содержит два множителя,
In (2 wn I *0л _ In (2 | Х"л I2)
и
ж
2 2^л 1?е(&*°л*2°л).
Л" 1
Будь первый из них = 0, в коэффициенте при е2 первый член будет = 0 (он
всегда <^0), так что второй член, который, очевидно, всегда ^-0, должен
будет обратиться в нуль, чтобы весь коэффициент был ^ 0. ж _ _
Это означает, что 2 2(r)я Re = 0, т. е. второй множитель
П- 1
в коэффициенте при е должен тогда тоже = 0, что можно записать (- М - \
также и в форме 2Re( &2 wnxinx2nJ~(r)' Поскольку это условие
переходит, при соответствующем выборе &, на абсолютную величину ж ж
_
суммы 2 • т0 она должна обращаться в нуль: 2 wnxinx2n=
Л=1 Л=1
Поскольку мы могли бы поставить на место 1 и 2 любые два различных k, j =
1 М, то получается
2 =° для k*l-
Л=1
Но это значит, что унитарное преобразование координат с матри-цей [х°тп]
преобразует диагональную матрицу с диагональными элементами wv ..wn снова
к диагональной форме. Поскольку диагональные элементы являются
мультипликаторами (или собственными значениями) матрицы, то при
преобразовании координат они не меняются, а могут, самое большее,
переставиться. До преобразования
3] ВОПРОСЫ ОБРАТИМОСТИ И РАВНОВЕСИЯ 285
это были величины wm(m=] Ж); после преобразования это
м м
будут величины 2 wn | х°тп |2 (т = 1, ..., N). Итак, суммы 2 wn In wn
П~I П=1
М / М \ / М
и 2 ( 2 (tm)л I х°тп Г ) ( 2 w"\ х°тп \2 ) имеют те же самые
значе-
т = 1\л=1 / \л=1 1 /
ния, т. е. при '
1 для т - п,
О для т Ф п
осуществляется максимум, как то и утверждалось.
Установим теперь, когда в соотношении * имеет место знак
равенства. Когда это выполняется, сумма
СО
2 Хл)1п(?/х", Х")
п~ 1
будет принимать максимальное значение не только для Хл = Фл
(п=1, 2, . ..) (собственных функций оператора U, ср. выше), но и для Хп =
?n (/1=1. 2, ...). (Считаем, что Xi> Хз> ••• пробегают все полные
ортонормированные системы.) В частности, это выполняется, если унитарное
преобразование испытывают только Ж первых <рл (т. е.
если Хп = г?п Для п> М). Пусть umn = (Uym, <рл) (т, я = 1.............Ж),
v1 vM будут собственными значениями конечной (а также и
эрмитовой и дефинитной) матрицы \итп\, а \атп) (т, п= 1 Ж) -
матрицей, приводящей {итп\ к диагональному виду. Функции cpj <рм
м
пусть она переводит в шж, <pm=2 amn% (т = 1..........................М)>
П- 1
тогда Uwn-vnwn, следовательно,
шт' шп) ( О ДЛЯ тфП. м
Для Sm=2 хтпшп(т='1 М; \хтп\ пусть тоже будет унитар-
П- 1
М
ной) будет, следовательно, ?;)= 2 vnxknxjn• Поэтому, согласно
П- 1
М / М \ / М \
допущению О ?1........9м, величина 2 ( 2 ^п\хтп I2 ) 1п ( 2 "я| хтп
Р )
1 \л=1 / \л- 1 /
принимает максимум при хтл = ашл. В силу предыдущего доказатель-
м
ства отсюда следует 2 vn<xkna/n - ^ для ИФ], т. е. (?/фй, ф,) = 0 л=1
для кф у, к, j = 1 Ж.
286
ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ
fTJI. V
Это должно выполняться для всех М; следовательно, Uyk ортогональна ко
всем <?j, kj=j, поэтому равна (w'-константа). Тем самым <plt (р", ...
оказываются собственными функциями U с собственными значениями w'v w'2,
... (т. е. с перестановкой собственных значений wlt w2, ...). Но при
таких обстоятельствах
"'=! ("V Ч.) ¦ ры=I, Ч • Л-.1 = и¦
Итак, мы нашли, что
Процесс 1., U ->U' =з ^ (?/<рп, фп) ' 1 OPi* Т2' • • • - со^'
ственные функции оператора Р измеряемой величины ОТ) никогда не уменьшает
энтропии; он даже увеличивает ее всегда, исключая случай, когда все <pj,
$2, ... являются собственными функциями U, т. е. когда U = и'.
Впрочем, в этом случае U коммутирует с R, и это тоже характерно для того,
чтобы такой случай имел место (поскольку коммутативность равносильна
существованию системы общих собственных функций <pj, <р2 ср. II. 10).
Итак, процесс 1. необратим во всех случаях, когда он вообще приводит к
каким-либо изменениям.
Теперь мы должны рассмотреть вопросы обратимости при процессах I. и 2.
независимо от феноменологической термодинамики, как то было
прокламировано в V. 2 в качестве второго пункта программы. Математический
метод, с помощью которого это может удаться, мы уже знаем: Если
выполняется второе начало, то энтропия должна равняться - Nx Spur (U In
U), и эта величина не вправе уменьшиться ни при каком процессе 1. или 2..
Поэтому нам надо рассмотреть теперь-Nx Spur(?/ In U) как чисто
математическую величину, независимо от ее толкования как энтропии, и
выяснить, что происходит с ней при I. и 2. 200).
При процессе 2. из U возникает Ut = e h Ue^ , т. е. если
<н - _i
обозначить унитарный оператор е h ' через A, U -> Ut = AUA .
Поскольку в силу унитарности А замена / -> Af осуществляет изоморфное
отображение гильбертова пространства само на себя, кбторое переводит
